数列的极限

定义

设 {xn}\{x_n\} 为一数列，如果存在常数 aa，是对于任意给定的正数 ϵ\epsilon（不论它多么小），总存在正整数 NN，使得当 n>Nn > N时，不等式

∣xn−a∣<ε\left\vert x_n - a \right\vert < \varepsilon

都成立，那么就称常数 aa 是数列 {xn}\{x_n\} 的极限，或者称数列 {xn}\{x_n\} 收敛于 aa，记为

lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n \to \infty }x_n = a

或

xn→a(n→∞)x_n \to a \quad (n \to \infty)

如果不存在这样的常数 aa，就说数列 {xn}\{x_n\} 没有极限，或者说数列 {xn}\{x_n\} 是发散的，习惯上也说 lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n \to \infty}x_n 不存在。

数列极限 lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a 的定义可表达为

lim⁡n→∞xn=a⇔∀ε>0, ∃ 正整数 N，当 n>N 时，有 ∣xn−a∣<ε\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \, \exists \,正整数\,N，当\,n > N\,时，有\,\left\vert x_n - a\right\vert < \varepsilon

性质

定理 11（极限的唯一性）\quad 如果数列 {xn}\{x_n\} 收敛，那么它的极限唯一。

定理 22（收敛数列的有界性）\quad 如果数列 {xn}\{x_n\} 收敛，那么数列 {xn}\{x_n\} 一定有界。

定理 33（收敛数列的保号性）\quad 如果 lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a，且 a>0a > 0（或 a<0a < 0），那么存在正整数 NN，当 n>Nn > N 时，都有 xn>0x_n > 0（或 xn<0x_n < 0）。

推论\quad 如果数列 {xn}\{x_n\} 从某项起有 xn≥0x_n \ge 0（或 xn≤0x_n \le 0），且 lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a，那么 a≥0a \ge 0（或 a≤0a \le 0）。

定理 44（收敛数列与其子数列间的关系）\quad 如果数列 {xn}\{x_n\} 收敛于 aa，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 aa。

函数的极限

定义

定义 11\quad 设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 AA，对于任一给定的正数 ε\varepsilon（不论它多么小），总存在正数 δ\delta，使得当 xx 满足不等式 0<∣x−x0∣<δ0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 时，对应的函数值 f(x)f(x) 都满足不等式

∣f(x)<A∣<ε\left\vert f(x) < A \right\vert < \varepsilon

那么常数 AA 就叫做函数 f(x)f(x) 当 x→x0x\to x_0 时的极限，记作

lim⁡x→x0f(x)=A 或 f(x)→A ( 当 x→x0 )\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A\ 或\ f(x) \to A\ (\ 当\ x \to x_0\ )

定义 11 可以简单的表述为

lim⁡x→x0f(x)=A⇔∀ε>0,∃δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时,有∣f(x)−A∣<ε\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 当 0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 时, 有 \left\vert f(x) - A \right\vert < \varepsilon

在 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A 的定义中，把 0<∣x−x0∣<δ0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 改为 x0−δ<x<x0x_0 - \delta < x < x_0，那么 AA 就叫做函数 f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0 时的左极限，记作

lim⁡x→x0−f(x)=A或f(x0−)=A\lim\limits_{x \to x^-_0}f(x) = A \quad 或 \quad f(x_0^-) = A

类似的，把 0<∣x−x0∣<δ0 < \left\vert x - x_0\right\vert < \delta 改为 x0<x<x0+δx_0 < x < x_0 + \delta，那么 AA 就叫做函数 f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0 时的右极限，记作

lim⁡x→x0+f(x)=A或f(x0+)=A\lim\limits_{x \to x^+_0}f(x) = A \quad 或 \quad f(x_0^+) = A

函数 f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即

f(x0−)=f(x0+)f(x_0^-) = f(x_0^+)

定义 22\quad 设函数 f(x)f(x) 当 ∣x∣\left\vert x\right\vert 大于某一正数时有定义。如果存在常数 AA，对于任意给定的正数 ε\varepsilon，总存在正数 XX，使得当 xx 满足不等式 ∣x∣>X\left\vert x\right\vert > X 时，对应的函数值 f(x)f(x) 都满足不等式

∣f(x)−A∣<ε\left\vert f(x) - A \right\vert < \varepsilon

那么常数 AA 就叫做函数 f(x)f(x) 当 x→∞x \to \infty 时的极限，记作

lim⁡x→∞=A或f(x)→A(当x→∞)\lim\limits_{x \to \infty} = A \quad 或 \quad f(x) \to A (当 x\to \infty)

定义 22 可简单地表达为

lim⁡x→∞f(x)=A⇔∀ε>0,∃X>0,当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<ε\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, 当 \left\vert x \right\vert > X时，有 \left\vert f(x) - A \right\vert < \varepsilon

性质

定理 11（函数极限的唯一性）\quad 如果 lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0} f(x) 存在，那么这极限唯一。

定理 22（函数极限的局部有界性）\quad 如果 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A，那么存在常数 M>0M>0 和 δ>0\delta > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 时，有 ∣f(x)∣≤M\left\vert f(x) \right\vert \le M。

定理 33（函数极限的局部保号性）\quad 如果 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A，且 A>0A > 0（或 A<0A < 0，那么存在常数 δ>0\delta > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 时，有 f(x)>0f(x) > 0（或 f(x)<0f(x) < 0）。

定理 3′3^\prime\quad 如果 lim⁡x→x0f(x)=A(A≠0)\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A(A \ne 0)，那么就存在着 x0x_0 的某一去心邻域 U˚(x0)\mathring{U}(x_0)，当 x∈U˚(x0)x \in \mathring{U}(x_0) 时，就有 ∣f(x)∣>∣A∣2\left\vert f(x) \right\vert > \frac{\left\vert A\right\vert}{2}。

推论\quad 如果在 x0x_0 的某去心邻域内 f(x)≥0f(x) \ge 0（或 f(x)≤0f(x) \le 0），而且 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A，那么 A≥0A \ge 0（或 A≤0A \le 0）。

定理 44（函数极限与数列极限的关系）\quad 如果极限 lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0}f(x) 存在，{xn}\{x_n\} 为函数 f(x)f(x) 的定义域内任一收敛于 x0x_0 的数列，且满足：xn≠x0x_n \ne x_0（n∈N+n \in N_+），那么相应的函数值数列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 必收敛，且 lim⁡n→∞f(xn)=lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)。

无穷小

定义

如果函数 f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0（或 x→∞x \to \infty）时的极限为零，那么称函数 f(x)f(x) 为当 x→x0x \to x_0（或 x→∞x \to \infty）时的无穷小。

性质

在自变量的同一变化过程 x→x0x \to x_0（或 x→∞x \to \infty）中，函数 f(x)f(x) 具有极限 AA 的充分必要条件时 f(x)=A+αf(x) = A + \alpha，其中 α\alpha 是无穷小。

比较

如果 lim⁡βα=0\lim\frac{\beta}{\alpha} = 0，那么就说 β\beta 是比 α\alpha 高阶的无穷小，记作 β=o(α)\beta = o(\alpha)

如果 lim⁡βα=∞\lim\frac{\beta}{\alpha} = \infty，那么就说 β\beta 是比 α\alpha 低阶的无穷小

如果 lim⁡βα=c≠0\lim\frac{\beta}{\alpha} = c \ne 0，那么就说 β\beta 与 α\alpha 是同阶的无穷小

如果 lim⁡βαk=c≠0,k>0\lim\frac{\beta}{\alpha^k} = c \ne 0, k > 0，那么就说 β\beta 是关于 α\alpha 的 kk 阶的无穷小

如果 lim⁡βα=1\lim\frac{\beta}{\alpha} = 1，那么就说 β\beta 与 α\alpha 是等价无穷小，记作 α∼β\alpha \sim \beta

定理 11\quad β\beta 与 α\alpha 是等价无穷小的充分必要条件为

β=α+o(α)\beta = \alpha + o(\alpha)

定理 22\quad 设 α∼α~\alpha \sim \tilde\alpha，β∼β~\beta \sim \tilde\beta，且 lim⁡β~α~\lim\limits\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha} 存在，则

lim⁡βα=lim⁡β~α~\lim\limits\frac{\beta}{\alpha} = \lim\limits\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}

无穷大

定义

设函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某一去心邻域内有定义（或 ∣x∣\left\vert x \right\vert 大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数 MM（不论它有多大），总存在正数 δ\delta（或正数 XX），只要 xx 适合不等式 0<∣x−x0∣<δ0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta（或 ∣x∣>X\left\vert x \right\vert > X），对应的函数值 f(x)f(x) 总满足不等式

∣f(x)∣>M\left\vert f(x) \right\vert > M

那么称函数 f(x)f(x) 是当 x→x0x \to x_0（或 x→∞x \to \infty）时的无穷大。

性质

在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)f(x) 为无穷大，那么 1f(x)\frac{1}{f(x)} 为无穷小；反之，如果 f(x)f(x) 为无穷小，且 f(x)≠0f(x) \ne 0，那么 1f(x)\frac{1}{f(x)} 为无穷大。

极限运算法则

定理 11\quad 有限个无穷小的和是无穷小

定理 22\quad 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论 11\quad 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论 22\quad 有限个无穷小的乘积是无穷小

定理 33\quad 如果 lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B\lim f(x)=A, \lim g(x) = B，那么

  1. lim⁡[f(x)±g(x)]=lim⁡f(x)±lim⁡g(x)=A±B\lim\left[f(x) \pm g(x) \right] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B
  2. lim⁡[f(x)⋅g(x)]=lim⁡f(x)⋅lim⁡g(x)=A⋅B\lim\left[f(x) \cdot g(x) \right] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B
  3. 若又有 B≠0B \ne 0，则

lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f(x)lim⁡g(x)=AB\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}

定理 44\quad 设有数列 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\}。如果

lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞yn=B\lim\limits_{n\to\infty}x_n = A,\quad \lim\limits_{n\to\infty}y_n = B

那么

  1. lim⁡n→∞(xn±yn)=A±B\lim\limits_{n\to\infty}(x_n\pm y_n) = A \pm B
  2. lim⁡n→∞(xn⋅yn)=A⋅B\lim\limits_{n\to\infty}(x_n \cdot y_n) = A \cdot B
  3. 当 yn≠0y_n \ne 0（n=1,2,⋯n = 1, 2, \cdots）且 B≠0B \ne 0 时，lim⁡n→∞xnyn=AB\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}

定理 55\quad 如果 φ(x)≥ψ(x)\varphi(x) \ge \psi(x)，而 lim⁡φ(x)=A\lim\limits \varphi(x) = A，lim⁡ψ(x)=B\lim\limits \psi(x) = B，那么 A≥BA \ge B。

定理 66（复合函数的极限运算法则）\quad 设函数 y=f[g(x)]y = f\left[g(x)\right] 是由函数 u=g(x)u = g(x) 与函数 y=f(u)y = f(u) 复合而成，f[g(x)]f\left[g(x)\right] 在点 x0x_0 的某去心邻域内有定义，若 lim⁡x→x0g(x)=u0\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = u_0，lim⁡u→u0f(u)=A\lim\limits_{u \to u_0}f(u) = A，且存在 δ0>0\delta_0 > 0，当 x∈U˚(x0,δ0)x \in \mathring{U}(x_0, \delta_0) 时，有 g(x)≠u0g(x) \ne u_0，则

lim⁡x→x0f[g(x)]=lim⁡u→u0f(u)=A\lim\limits_{x \to x_0}f\left[g(x)\right] = \lim\limits_{u\to u_0}f(u) = A

极限存在准则

准则 I\mathrm{I}\quad 如果数列 {xn}\{x_n\}，{yn}\{y_n\} 及 {zn}\{z_n\} 满足下列条件：

  1. 从某项起，即 ∃n0∈N+\exists n_0 \in \N_+，当 n>n0n > n_0 时，有

yn≤xn≤zny_n \le x_n \le z_n

  1. lim⁡n→∞yn=a,lim⁡n→∞zn=a\lim\limits_{n \to \infty}y_n = a, \lim\limits_{n\to\infty}z_n = a

那么数列 {xn}\{x_n\} 的极限存在，且 lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a

准则 I′\mathrm{I}^\prime\quad 如果

  1. 当 x∈U˚(x0,r)x \in \mathring{U}(x_0, r)（或 ∣x∣>M\left\vert x \right\vert > M）时，

g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)

  1. lim⁡x→x0(x→∞)g(x)=A,lim⁡x→x0(x→∞)h(x)=A\lim\limits_{x\to x_0 \atop (x \to \infty)}g(x) = A, \lim\limits_{x\to x_0 \atop (x\to\infty)}h(x) = A

那么 lim⁡x→x0(x→∞)f(x)\lim\limits_{x\to x_0 \atop (x\to \infty)}f(x) 存在，且等于 AA。

准则 I\mathrm{I} 及准则 I′\mathrm{I}^\prime 称为夹逼准则。

准则 II\mathrm{II}\quad 单调有界数列必有极限。