黎曼积分

定义

设 Ω\Omega 为有限的几何体（一段曲线，一段曲面，一块有限空间体），u=f(P)u = f(P) 是定义在 Ω\Omega 上的点函数，将 Ω\Omega 任意分成 nn 个小的几何体，ΔΩ1,ΔΩ2,⋯ ,ΔΩn\Delta\Omega_1,\Delta\Omega_2,\cdots,\Delta\Omega_n，并用此记号表示其几何量，称 sup⁡P1,P2∈ΔΩi{∣P1P2∣}=di\sup\limits_{P_1, P_2 \in \Delta\Omega_i}\left\{\left\vert P_1P_2 \right\vert\right\} = d_i 为 ΔΩi\Delta\Omega_i 的直径，λ=max⁡i=1,2,⋯ ,n{di}\lambda = \max\limits_{i=1,2,\cdots,n}\{d_i\}，然后在每个小的几何形体 ΔΩi\Delta\Omega_i 上做乘积 f(Pi)ΔΩi,Pi∈ΔΩif(P_i)\Delta\Omega_i, P_i \in \Delta\Omega_i，并将它们加起来，得 ∑i=1nf(Pi)ΔΩi\sum_{i=1}^n f(P_i)\Delta\Omega_i。如果不论 Ω\Omega 如何分，Pi∈ΔΩiP_i \in \Delta\Omega_i 如何取，下述极限 lim⁡λ→0∑i=1nf(Pi)ΔΩi\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i)\Delta\Omega_i 均存在且相等，则称 f(P)f(P) 在 Ω\Omega 上可积，其极限值为 f(P)f(P) 在 Ω\Omega 上黎曼积分。一般记号，lim⁡λ→0∑i=1nf(Pi)ΔΩi≜∫Ωf(P)dΩ\lim\limits_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i)\Delta\Omega_i \triangleq \int\limits_\Omega f(P)d\Omega

性质

  1. ∫Ωf(P)dΩ=∫Ωf(P)dV\int\limits_\Omega f(P)d\Omega = \int\limits_\Omega f(P)dV，积分与变量无关
  2. ∫ΩdΩ=Ω\int\limits_\Omega d\Omega = \Omega
  3. ∫Ω[αf(P)±βg(P)]dΩ=α∫Ωf(P)dΩ±β∫Ωg(P)dΩ\int\limits_\Omega \left[\alpha f(P) \pm \beta g(P)\right]d\Omega = \alpha \int\limits_\Omega f(P)d\Omega \pm \beta\int\limits_\Omega g(P)d\Omega
  4. 若 Ω=Ω1+Ω2\Omega = \Omega_1 + \Omega_2，则 ∫Ωf(P)dΩ=∫Ω1f(P)dΩ+∫Ω2f(P)dΩ\int\limits_\Omega f(P) d\Omega = \int\limits_{\Omega_1} f(P) d\Omega + \int\limits_{\Omega_2} f(P)d\Omega
  5. 若 f(P)≥g(P),P∈Ωf(P) \ge g(P), P \in \Omega，则 ∫Ωf(P)dΩ≥∫Ωg(P)dΩ\int\limits_\Omega f(P) d\Omega \ge \int\limits_\Omega g(P)d\Omega
  6. 若 P∈ΩP \in \Omega，则 ∣∫Ωf(P)dΩ∣≤∫Ω∣f(P)∣dΩ\left\vert \int\limits_\Omega f(P)d\Omega \right\vert \le \int\limits_\Omega \left\vert f(P) \right\vert d\Omega
  7. 若 m≤f(P)≤M,P∈Ωm \le f(P) \le M, P \in \Omega，则 mΩ≤∫Ωf(P)dΩ≤MΩm\Omega \le \int\limits_\Omega f(P)d\Omega \le M\Omega
  8. 设 f(P)f(P) 是有界闭区域 Ω\Omega 上连续函数，则 ∫Ωf(P)dΩ=f(P∗)Ω,P∗∈Ω\int\limits_\Omega f(P)d\Omega = f(P^*)\Omega, P^* \in \Omega
  9. 若 Ω\Omega 关于 x=0(y=0,z=0)x=0(y=0,z=0) 对称，且 f(P)f(P) 是关于 x(y,z)x(y,z) 的奇函数，则 ∫Ωf(P)dΩ=0\int\limits_\Omega f(P)d\Omega = 0

一般意义

表示以 f(P)f(P) 为密度函数的几何体 Ω\Omega 的质量代数和。

二重积分

定义

若 DD 是坐标面（不妨设为）oxyoxy 平面上的一个有界闭区域，在坐标系下 f(P)f(P) 就是一个二元函数 f(x,y)f(x,y)，称它在 DD 上的黎曼积分为 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上的二重积分，记为

∬Df(x,y)dσ=∬Df(x,y)dxdy\iint\limits_D f(x,y)d\sigma = \iint\limits_D f(x,y)dxdy

物理意义

表示以 f(x,y)f(x,y) 为面密度的有限平面区域质量的代数和。

几何意义

表示以 DD 为底，以 z=f(x,y)z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体体积的代数和。

计算公式

  • Y−Y- 型：{a≤y≤bφ(y)≤x≤ψ(y)\begin{cases} a \le y \le b \\ \varphi(y) \le x \le \psi(y) \end{cases}

∬Df(x,y)dxdy=∫abdy∫φ(y)ψ(y)f(x,y)dx\iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dy \int_{\varphi(y)}^{\psi(y)}f(x,y)dx

  • X−X- 型：{a≤x≤bφ(x)≤y≤ψ(x)\begin{cases} a \le x \le b \\ \varphi(x) \le y \le \psi(x) \end{cases}

∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫φ(x)ψ(x)f(x,y)dy\iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dx \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy

  • 极坐标系：{α≤θ≤βφ(θ)≤r≤ψ(θ)\begin{cases} \alpha \le \theta \le \beta \\ \varphi(\theta) \le r \le \psi(\theta) \end{cases}

∬Df(x,y)dxdy=∫αβdθ∫φ(θ)ψ(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr\iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\varphi(\theta)}^{\psi(\theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta)rdr

积分换序

如果 X−X- 型走不通，不妨用 Y−Y- 型试试。

三重积分

定义

若 Ω\Omega 是一有限空间体，f(P)f(P) 是 Ω\Omega 上的点函数，在坐标系下 f(P)f(P) 就是一个三元函数 f(x,y,z)f(x,y,z)，它在 Ω\Omega 上的黎曼积分称之为 f(x,y,z)f(x,y,z) 在 Ω\Omega 上的三重积分，记为

∭Ωf(x,y,z)dΩ=∭Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)d\Omega = \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dxdydz

物理意义

表示以 f(x,y,z)f(x,y,z) 为体密度的有限空间体 Ω\Omega 质量的代数和。

计算方法

  • 柱形域：{φ(x,y)≤z≤ψ(x,y)(x,y)∈Dxy\begin{cases} \varphi(x,y) \le z \le \psi(x,y) \\ (x,y) \in D_{xy} \end{cases}

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∬Dxydxdy∫ϕ(x,y)ψ(x,y)f(x,y,z)dz\iiint\limits_\Omega f(x,y,z) dxdydz = \iint\limits_{D_{xy}}dxdy \int_{\phi(x,y)}^{\psi(x,y)}f(x,y,z)dz

  • 片型域：{a≤z≤b(x,y)∈Dz\begin{cases} a \le z \le b \\ (x,y) \in D_z \end{cases}

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫abdz∬Dzf(x,y,z)dxdy\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \int_a^b dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy

  • 球坐标系：{a≤θ≤bc≤ϕ≤dg(θ,ϕ)≤ρ≤h(θ,ϕ)\begin{cases} a \le \theta \le b \\ c \le \phi \le d \\ g(\theta, \phi) \le \rho \le h(\theta, \phi) \end{cases}

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫abdθ∫cddϕ∫g(θ,ϕ)h(θ,ϕ)f(ρsin⁡ϕcos⁡θ,ρsin⁡ϕsin⁡θ,ρcos⁡ϕ)ρ2sin⁡ϕdρ\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \int_a^b d\theta \int_c^d d\phi \int_{g(\theta, \phi)}^{h(\theta, \phi)} f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)\rho^2\sin\phi d\rho

第一型曲线积分

定义

若 CC 是空间（或平面）一有限曲线段，f(P)f(P) 是 CC 上点函数，在引进坐标系下，f(P)=f(x,y,z)(f(x,y))f(P) = f(x,y,z)(f(x,y))，称 f(P)f(P) 在 CC 上黎曼积分叫 ff 在 CC 上的第一型曲线积分，记为

∫Cf(x,y,z)ds(或∫Cf(x,y)ds)\int\limits_C f(x,y,z) ds \left(或\int\limits_C f(x,y)ds\right)

物理意义

表示以 f(x,y,z)f(x,y,z) 或 f(x,y)f(x,y) 为线密度的曲线 CC 的质量的代数和。

几何意义

表示以 CC 为准线，母线平行于 ozoz 轴的柱面介于 oxyoxy 平面与 z=f(x,y)z=f(x,y) 之间面积的代数和。

计算方法

将曲线 CC 用参数方程来表示，然后代入积分公式转化成一元积分。

第一型曲面积分

定义

若 SS 是空间上一有限曲面，f(P)f(P) 是 SS 上的点函数，在引进坐标系下，f(P)=f(x,y,z)f(P) = f(x,y,z)，f(P)f(P) 在 SS 上黎曼积分叫 f(P)f(P) 在 SS 上的第一型曲面积分，记为

∬Sf(x,y,z)dS\iint\limits_S f(x,y,z) dS

物理意义

表示以 f(x,y,z)f(x,y,z) 为面密度的曲面 SS 的质量的代数和。

计算方法

转化为二重积分

∬Sf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,g(x,y))gx′ 2+gy′ 2+1dxdy\iint\limits_S f(x,y,z)dS = \iint\limits_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{g_x^{\prime\ 2} + g_y^{\prime\ 2} + 1} dxdy