级数

定义

设 {an}\{a_n\} 为一个无穷数列，用 + 将 ana_n 的项依次连起来，得到一个式子 a1+a2+⋯+an+⋯a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots，称此式子为 （无穷数项）级数，简记为 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n

a1a_1 称为第一项，ana_n 称为通项，Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n 称为部分和。

敛散性

设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 为一级数，Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n 为其部分和，若 lim⁡n→∞Sn\lim\limits_{n\to\infty} S_n 存在，则称级数 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 收敛，此时 lim⁡n→∞Sn=∑n=1∞an\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n。若 lim⁡n→∞Sn\lim\limits_{n\to\infty} S_n 不存在，则称级数 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 发散。

性质

  1. k≠0k \ne 0 时，∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 与 ∑n=1∞kan\sum\limits_{n=1}^\infty ka_n 的敛散性一致，且收敛时 ∑n=1∞kan=k∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty ka_n = k\sum\limits_{n=1}^\infty a_n。
  2. 若 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 与 ∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 都收敛，则 ∑n=1∞(an±bn)\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n) 也收敛，且 ∑n=1∞(an±bn)=∑n=1∞an±∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \pm \sum\limits_{n=1}^\infty b_n。
  3. 一个级数去掉或添加有限项不改变级数的敛散性。
  4. 收敛级数满足结合律。
  5. 若 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 收敛，则 lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0。

两个重要级数

等比级数

∑n=1∞rn\sum\limits_{n=1}^\infty r^n

当 ∣r∣<1\vert r\vert < 1 时收敛；

当 ∣r∣≥1\vert r \vert \ge 1 时发散。

p-级数

∑n=1∞1np\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}

当 0<p≤10 < p \le 1 时发散；

当 p>1p>1 时收敛。

正项级数

定义

称满足 an>0a_n > 0 的无穷级数 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 为正项级数。

敛散性判别法

  1. 正项级数 ∑n=1∞\sum\limits_{n=1}^\infty 收敛 ⇔\Leftrightarrow 部分和有上界。
  2. 比较判别法

设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n，∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 为两个正项级数，若从某项以后有 an≤bna_n \le b_n，则

当 ∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 收敛时，∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 收敛；

当 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 发散时，∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 发散。

  1. 推论

设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n，∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 为两个正项级数，若从某项以后有 an+1an≤bn+1bn\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}，则

当 ∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 收敛时，∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 收敛；

当 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 发散时，∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 发散。

  1. 比阶法

设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n，∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 为两个正项级数，且 lim⁡n→∞anbn=k>0\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k > 0，则 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n，∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 敛散性一致。

  1. 达朗贝尔判别法

设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 为一个正项级数，且 lim⁡n→∞an+1an=r≥0\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \ge 0，则当 0≤r<10 \le r < 1 时收敛，当 r>1r > 1 时发散。

  1. 柯西判别法

设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n 是一个正项级数，且 lim⁡n→∞ann=r≥0\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = r \ge 0，则当 0≤r<10 \le r < 1 时收敛，当 r>1r > 1 时发散。

  1. 积分判别法

设 ∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 是一个正项级数，函数 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a, +\infty)（a>0a > 0）上非负、连续、单调下降，且 f(n)=bnf(n) = b_n，则 ∑n=1∞bn\sum\limits_{n=1}^\infty b_n 与反常积分 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x)dx 敛散性一致。

交错级数

定义

设 an>0a_n > 0，称 ∑n=1∞(−1)nan\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n 或 ∑n=1∞(−1)n+1an\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n 为交错级数。

性质

设交错级数 ∑n=1∞(−1)nan\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n 满足 lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0，且 an≥an+1a_n \ge a_{n+1}，n=1,2,⋯n = 1, 2, \cdots，则交错级数 ∑n=1∞(−1)nan\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n 收敛。

绝对收敛级数

定义

若 ∑n=1∞∣un∣\sum\limits_{n=1}^\infty \vert u_n \vert 收敛，则称级数 ∑n=1∞un\sum\limits_{n=1}^\infty u_n 为绝对收敛。

性质

  • 绝对收敛级数必收敛
  • 绝对收敛级数满足交换律

条件收敛级数

定义

若 ∑n=1∞∣un∣\sum\limits_{n=1}^\infty \vert u_n \vert 发散，而 ∑n=1∞un\sum\limits_{n=1}^\infty u_n 收敛，则称级数 ∑n=1∞un\sum\limits_{n=1}^\infty u_n 条件收敛。

性质

条件收敛级数不满足交换律。