函数项级数

定义

设 fn(x)f_n(x) 是定义在 DD 上的一串函数（n=1,2,3,⋯n = 1, 2, 3, \cdots），也称之为函数序列，用 + 号将其一次连接起来，f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)+⋯≜∑n=1∞fn(x)f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x) + \cdots \triangleq \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) 称之为 DD 上的函数项级数。Sn=f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)S_n = f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x) 称为部分和。rn(x)=fn+1(x)+fn+2(x)+⋯r_n(x) = f_{n+1}(x) + f_{n+2}(x) + \cdots 为函数项级数的余项。

对 x0∈Dx_0 \in D，若 ∑n=1∞fn(x0)\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x_0) 收敛，则称 x0x_0 为 ∑n=1∞fn(x)\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) 的收敛点，收敛点的全体组成的集合称为 ∑n=1∞fn(x)\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) 的收敛域，记 S(x)=lim⁡n→∞Sn(x)S(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(x)，称 S(x)S(x) 为函数项级数的和函数。

性质

定理1\quad 函数项级数和函数的连续性

设 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) 在 [a,b][a, b] 上一致收敛，且级数每一项 un(x)u_n(x) 在 [a,b][a, b] 上都连续，则和函数 S(x)S(x) 在 [a,b][a, b] 上连续。

定理2\quad 函数项级数逐项积分性

定理3\quad 函数项级数逐项微分性

幂级数

定义

称 ∑n=0∞anxn=a0+a1x+⋯+anxn+⋯\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \cdots 为标准的幂级数，这里 ana_n，n=0,1,2,⋯n = 0, 1, 2, \cdots 称之为幂级数的系数。

称 ∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+⋯\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + \cdots + a_n(x-x_0)^n + \cdots 为一般型幂级数。

称 ∑n=0∞anϕn(x)\sum\limits_{n=0}^\infty a_n \phi^n(x) 为广义幂级数。

对于 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n，当 x=0x=0 时，级数收敛，若除 00 以外没有收敛点称为级数发散。

任何一个标准的幂级数 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n，都存在唯一一个 RR，(R≥0或R=+∞)(R \ge 0 或 R = +\infty) 使 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 在 (−R,R)(-R, R) 内绝对收敛，在 (−∞,−R)(-\infty, -R) 和 (R,+∞)(R, +\infty) 上发散，则称 RR 为 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 的收敛半径，(−R,R)(-R, R) 称之为 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 的收敛区间。

∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 的收敛域 == 收敛区间 (−R,R)∪±R(-R, R) \cup \pm R 中收敛的点

性质

  • 阿贝尔引理

设 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 在 x0≠0x_0 \ne 0 点收敛，则 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 在 ∣x∣<∣x0∣\vert x\vert < \vert x_0 \vert 上绝对收敛。

推论：如果 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 在 x0x_0 点发散，则 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 在 ∣x∣>∣x0∣\vert x\vert > \vert x_0\vert 上发散。

思考：这同时也证明了幂级数存在收敛半径，小于这个收敛半径时幂级数收敛，大于这个收敛半径时幂级数发散。

  • 如何求收敛域？

设一幂级数为 ∑n=0∞un\sum\limits_{n=0}^\infty u_n，令 lim⁡n→∞∣un+1un∣<1\lim\limits_{n\to\infty} \left\vert \frac{u_{n+1}}{u_n}\right\vert < 1 （或令 lim⁡n→∞∣un∣n<1\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\vert u_n\vert} < 1），求出来 xx 的范围即为 ∑n=0∞un\sum\limits_{n=0}^\infty u_n 的收敛区间，再验证一下区间的左右端点是否收敛即可得到收敛域。

思考：为什么能这样做？

正项级数的性质中比值审敛法和根植审敛法都以 1 为边界，而幂级数又存在收敛半径，刚刚好！

  • 设 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n 的收敛半径为 R1R_1，∑n=0∞bnxn\sum\limits_{n=0}^\infty b_n x^n 的收敛半径为 R2R_2，令 R=min⁡{R1,R2}R = \min\{R_1, R_2\}，则有

∑n=0∞anxn+∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(an±bn)xn,∣x∣<R\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n + \sum\limits_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum\limits_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) x^n, \quad \vert x \vert < R

思考：这个性质乍一看似乎没啥用，但是反过来就有大用了！∑n=0∞(an±bn)xn\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n)x^n 的收敛域有时候用上一条性质并不好求，但是 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n 和 ∑n=0∞bnxn\sum\limits_{n=0}^\infty b_nx^n 的收敛半径 R1R_1 和 R2R_2 用上一条性质很好求，那么 ∑n=0∞(an±bn)xn\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n)x^n 的收敛半径 R=min⁡{R1,R2}R = \min\{R_1, R_2\}

小结

幂级数真的非常美，从阿贝尔引理的证明，到求收敛域的过程，都运用了绝对收敛和正项级数的性质，这也突出学好前面知识的重要性。

三角级数

定义

称 12a0+∑n=1∞ancos⁡nx+bnsin⁡nx\frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx + b_n \sin nx 为三角级数。

傅里叶级数

定义

若 f(x)f(x) 以 2π2\pi 为周期，且以下积分存在

a0=1π∫−ππf(x)dxan=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdxbn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx\begin{split} &a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx \\ &a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nxdx \\ &b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nxdx \end{split}

称 12a0+∑n=1∞ancos⁡nx+bnsin⁡nx\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos nx + b_n \sin nx 为 f(x)f(x) 的傅里叶级数，简称为 F−F- 级数。

其中 a0,an,bn(n=1,2,⋯ )a_0, a_n, b_n(n=1,2,\cdots) 为傅里叶系数。

若 f(x)f(x) 为奇函数，a0=an=0(n=1,2,⋯ )a_0 = a_n = 0(n=1, 2, \cdots)，bn=2π∫0πf(x)sin⁡nxdxb_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx dx，此时 F−F- 级数变为 ∑n=1∞bnsin⁡nx\sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin nx，称为 F−F- 正弦型级数。

若 f(x)f(x) 为偶函数，bn=0,a0=2π∫0πf(x)dx,an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdx,(n=1,2,⋯ )b_n = 0, a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)dx, a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx dx, (n=1,2,\cdots)，此时 F−F- 级数变为 12a0+∑n=1∞ancos⁡nx\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos nx，称为 F−F- 余弦型级数

狄利克雷定理

若 f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi, \pi] 上满足：

  1. 至多有限个第一类间断点
  2. 至多有限个极值

则 f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi, \pi] 上 F−F- 级数收敛，且

12a0+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)={f(x)x为(−π,π)的连续点12[f(x+)+f(x−)]x为(−π,π)的第一类间断点12[f(−π+)+f(π−)]x=±π\frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \begin{cases} f(x) & x 为 (-\pi, \pi) 的连续点 \\ \frac{1}{2} \left[f(x^+) + f(x^-)\right] & x 为 (-\pi, \pi) 的第一类间断点 \\ \frac{1}{2} \left[f(-\pi^+) + f(\pi^-)\right]& x = \pm\pi \end{cases}

以 2l2l 为周期的函数的傅里叶级数

f(x)f(x) 在 [−l,l][-l, l] 的 F−F- 级数为 12a0+∑n=1∞(ancos⁡nπlx+bnsin⁡nπlx)\frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n\pi}{l}x + b_n \sin \frac{n\pi}{l}x\right)，其中

a0=1l∫−llf(x)dxan=1l∫−llf(x)cos⁡nπlxdxbn=1l∫−llf(x)sin⁡nπlxdx\begin{split} &a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)dx \\ &a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi}{l}xdx \\ &b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \frac{n\pi}{l}xdx \end{split}

有限区间上函数的傅里叶级数

对在 [a,b][a,b] 定义的函数 f(x)f(x) 的傅里叶级数，可以将 f(x)f(x) 延拓成以 T=b−aT = b-a 为周期的函数

在 [0,l][0,l] 上的正弦型级数

方法： 将 f(x)f(x) 奇延拓成 [−l,l][-l, l] 上的奇函数

g(x)={f(x)x∈[0,l]−f(x)x∈[−l,0)g(x) = \begin{cases} f(x) & x \in [0, l] \\ -f(x) & x \in [-l, 0) \end{cases}

则 g(x)g(x) 在 [−l,l][-l, l] 上的 F−F- 级数就是 f(x)f(x) 在 [0,l][0, l] 上正弦型级数。

bn=2l∫0lf(x)sin⁡nπlxdxb_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi}{l}xdx

∑n=1∞bnsin⁡nπlx={12[f(x+)+f(x−)]x∈(0,l)0x=0,l\sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{n\pi}{l}x = \begin{cases} \begin{gather*} \frac{1}{2}\left[f(x^+) + f(x^-)\right] &x\in (0, l) \\ 0 & x=0,l \end{gather*} \end{cases}