第二型积分

定义

设 Ω\Omega 为空间上一有向几何体，即在 Ω\Omega 上每一点 PP 处都确定了一方向 eP→\overrightarrow{e_P}，P∈ΩP \in \Omega，A→(P)\overrightarrow{A}(P) 为 Ω\Omega 上一向量值函数。首先，将 Ω\Omega 任意分成 nn 个有向几何体 ΔΩ1,ΔΩ2,⋯ ,ΔΩn\Delta\Omega_1, \Delta\Omega_2, \cdots, \Delta\Omega_n；然后在每一个有向几何体上做内积 A→(P)⋅ΔΩi→(i=1,2,⋯ ,n),Pi∈ΔΩi\overrightarrow{A}(P) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i}(i = 1, 2, \cdots, n), P_i \in \Delta\Omega_i，ΔΩi→\Delta\overrightarrow{\Omega_i} 是以 ΔΩi\Delta\Omega_i 的几何量为模，以 PiP_i 点的方向为方向的向量，再将上述内积加起来得 ∑i=1nA→(Pi)⋅ΔΩi→\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{A}(P_i) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i}。若无论 Ω\Omega 如何分，Pi∈ΔΩiP_i \in \Delta \Omega_i如何取，极限 lim⁡λ→0∑i=1nA→(Pi)⋅ΔΩi→\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{A}(P_i) \cdot \Delta \overrightarrow{\Omega_i}，λ=max⁡{di∣i=1,2,⋯ ,n}\lambda = \max\{d_i \vert i = 1,2,\cdots, n\}，did_i 是 ΔΩi\Delta \Omega_i 的直径，都存在且相等，则称此极限值为 A→(Pi)\overrightarrow{A}(P_i) 在 Ω\Omega 上给定方向 eP→\overrightarrow{e_P} 下的第二型积分，记为

lim⁡λ→0∑i=1nA→(Pi)⋅ΔΩi→≜∫ΩA→(P) ⁣dΩ→\lim\limits_{\lambda\to 0} \sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{A}(P_i) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i} \triangleq \int\limits_\Omega \overrightarrow{A} (P)\mathop{}\!\mathrm{d} \overrightarrow{\Omega}

性质

第二型曲线积分

定义

设 CC 是空间一有向曲线，其方向为其切线给定方向，引入直角坐标，A→(P)={P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)}\overrightarrow{A}(P) = \left\{P(x,y,z),\ Q(x,y,z),\ R(x,y,z)\right\} 是 CC 上连续函数，则

 ⁣dΩcos⁡αP= ⁣dx, ⁣dΩcos⁡βP= ⁣dy, ⁣dΩcos⁡γP= ⁣dz\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega \cos\alpha_P =\mathop{}\!\mathrm{d}x,\quad\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega\cos\beta_P =\mathop{}\!\mathrm{d}y,\quad\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega\cos \gamma_P =\mathop{}\!\mathrm{d}z

称 ∫CA→(P) ⁣dΩ→=∫CP ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dz\int\limits_C \overrightarrow{A}(P)\mathop{}\!\mathrm{d}\overrightarrow{\Omega} = \int\limits_C P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z 为 A→(x,y,z)\overrightarrow{A}(x,y,z) 在 CC 上给定方向的第二型曲线积分。

计算方法

参数法

设曲线 CC 为 {x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} 始点 t=at=a，终点 t=bt=b，CC 为光滑曲线，则

∫CP ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dz=∫abP ⁣dx(t)+Q ⁣dy(t)+R ⁣dz(t)=∫ab[Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t)]dt\begin{split} \int\limits_C P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z & = \int_a^b P\mathop{}\!\mathrm{d}x(t) + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y(t) + R\mathop{}\!\mathrm{d}z(t) \\ & =\int_a^b \left[P x'(t) + Qy'(t) + Rz'(t)\right]dt \end{split}

格林公式

设 DD 为单连通区域，CC 为 DD 的边界闭曲线，其方向为正向。P(x,y),Q(x,y)P(x,y), Q(x,y) 是 C+DC+D 上具有连续一阶偏导的函数，则

∮CP(x,y) ⁣dx+Q(x,y) ⁣dy=∯D(∂Q∂x−∂P∂y) ⁣dxdy\oint\limits_C P(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}y = \oiint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y

推广

设曲线 CC 是由 n+1n+1 条简单连续、逐段光滑闭曲线 C0,C1,⋯ ,CnC_0, C_1, \cdots, C_n 组成，其中 C1,⋯ ,CnC_1, \cdots, C_n 互不相交，每条都在其余 n−1n-1 条外部区域内，而它们全体又在 C0C_0 所围区域内部。C0C_0 与 C1,⋯ ,CnC_1, \cdots, C_n 所界定区域为 DD，CC 的方向对 DD 而言为左手域方向，而 P(x,y),Q(x,y)P(x,y), Q(x,y) 又是 C+DC+D 上具有连续一阶偏导的函数，则

∮CP(x,y) ⁣dx+Q(x,y) ⁣dy=∯D(∂Q∂x−∂P∂y) ⁣dxdy\oint\limits_C P(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}y = \oiint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y

斯托克斯公式

设 CC 为分段光滑有向闭曲线，SS 是以 CC 为边界的任一分片光滑的有向曲面，CC 与 SS 的方向满足右手螺旋方向，函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 是 S+CS+C 上具有连续偏导的函数，则

∮CP ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dz=∬S(∂R∂y−∂Q∂z) ⁣dydz+(∂P∂z−∂R∂x) ⁣dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y) ⁣dxdy=∬S∣ ⁣dydz ⁣dzdx ⁣dxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=∬S∣cos⁡αcos⁡βcos⁡γ∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣ ⁣dS\begin{split} \oint\limits_C P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z & =\iint\limits_S \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & = \iint\limits_S \begin{vmatrix} \mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z &\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x &\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ & = \iint\limits_S \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\mathop{}\!\mathrm{d}S \end{split}

平面曲线积分与路径无关

设 DD 为单连通区域，P,QP, Q 为 DD 上具有连续一阶偏导的函数，在 DD 上下述四结论等价：

  1. DD 上任意闭曲线 CC，有 ∮CP ⁣dx+Q ⁣dy=0\oint\limits_C P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y = 0
  2. DD 上第二型曲线积分 ∫ABP ⁣dx+Q ⁣dy\int\limits_{AB} P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y 与路径无关
  3. P ⁣dx+Q ⁣dyP\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y 是全微分
  4. ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

全微分方程

定义

如果一阶微分方程 P ⁣dx+Q ⁣dy=0P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y = 0 满足 ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}，则称此方程为全微分方程（恰当方程）。

解法

通解公式 u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)P ⁣dx+Q ⁣dy=C∫x0xP(x,y0) ⁣dx+∫y0yQ(x,y) ⁣dy=C\begin{split} 通解公式\ u(x,y) = & \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y = C \\ & \int_{x_0}^x P(x,y_0)\mathop{}\!\mathrm{d}x + \int_{y_0}^y Q(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}y = C \end{split}

更一般地，方程两端乘以一个因子 u(x,y)u(x,y) 才可以变成全微分方程。

空间曲线积分与路径无关

设 Ω\Omega 为空间二维单连通区域，P,Q,RP, Q, R 为 Ω\Omega 上具有连续一阶偏导的函数，在 Ω\Omega 上下述四结论等价：

  1. Ω\Omega 上任意闭曲线 CC，有 ∮CP ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dz=0\oint\limits_C P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z = 0
  2. Ω\Omega 上第二型曲线积分 ∫ABP ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dz\int_{AB} P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z 与路径无关
  3. P ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dzP\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z 是全微分
  4. ∂R∂y=∂Q∂z,∂P∂z=∂R∂x,∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

第二型曲面积分

定义

设 SS 是空间一有向曲面，其方向 nP→,P∈S\overrightarrow{n_P}, P \in S 为给定 SS 上一法向，A→(P)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\overrightarrow{A}(P) = \{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} 是 SS 上连续函数，则

dΩcos⁡αP= ⁣dydz, ⁣dΩcos⁡βP= ⁣dzdx, ⁣dΩcos⁡γP= ⁣dxdyd\Omega \cos\alpha_P =\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\quad\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega\cos\beta_P =\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\quad\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega\cos \gamma_P =\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y

称 ∫SA→(P) ⁣dΩ→=∫SP ⁣dydz+Q ⁣dzdx+R ⁣dxdy\int\limits_S \overrightarrow{A}(P)\mathop{}\!\mathrm{d}\overrightarrow{\Omega} = \int\limits_S P\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y 为 A→(x,y,z)\overrightarrow{A}(x,y,z) 在 SS 上给定一侧的第二型曲面积分。

计算方法

分面计算法

∬SR ⁣dxdy={∬DxyR(x,y,g(x,y)) ⁣dxdyS为上侧−∬DxyR(x,y,g(x,y)) ⁣dxdyS为下侧\iint\limits_S R\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \begin{cases} \iint\limits_{D_{xy}} R(x, y, g(x,y))\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y & S为上侧 \\ -\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y, g(x,y))\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y & S为下侧 \end{cases}

∬SP ⁣dydz={∬DyzP(g(y,z),y,z) ⁣dydzS为前侧−∬DyzR(g(y,z),y,z) ⁣dydzS为后侧\iint\limits_S P\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \begin{cases} \iint\limits_{D_{yz}} P(g(y,z), y, z)\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z & S为前侧 \\ -\iint\limits_{D_{yz}} R(g(y, z), y, z)\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z & S为后侧 \end{cases}

∬SQ ⁣dzdx={∬DxzQ(x,g(x,z),z) ⁣dxdyS为右侧−∬DxzQ(x,g(x,z),z) ⁣dxdyS为左侧\iint\limits_S Q\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x = \begin{cases} \iint\limits_{D_{xz}} Q(x, g(x, z), z)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y & S为右侧 \\ -\iint\limits_{D_{xz}} Q(x, g(x, z), z)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y & S为左侧 \end{cases}

投影法

∬SP ⁣dydz+Q ⁣dzdx+R ⁣dxdy=∬S[P(−∂z∂x)+Q(−∂z∂y)+R] ⁣dxdy=±∬D[P(−∂z∂x)+Q(−∂z∂y)+R] ⁣dxdy\begin{split} \iint\limits_S P\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y & =\iint\limits_S \left[P\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right) + Q\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right) + R\right]\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & = \pm \iint\limits_D \left[P\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right) + Q\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right) + R\right]\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{split}

高斯公式

设空间二维单连通区域 Ω\Omega 的边界 SS 是光滑的，其方向为外法方向，函数 P(x,y,z)P(x,y,z)，Q(x,y,z)Q(x,y,z)，R(x,y,z)R(x,y,z) 在 Ω\Omega 上具有连续一阶偏导数，则有

∯SP ⁣dydz+Q ⁣dzdx+R ⁣dxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z) ⁣dΩ\oiint\limits_S P\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint\limits_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega

推广

设 SS 是由两个闭曲面 S1,S2S_1, S_2 组成，S1S_1 的方向为外法方向，S2S_2 的方向为内法方向，且 S2S_2 在 S1S_1 所围区域内部，介于 S1,S2S_1, S_2 之间区域为 Ω\Omega，函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在 Ω\Omega 与 SS 上具有连续一阶偏导数，则有

∯SP ⁣dydz+Q ⁣dzdx+R ⁣dxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z) ⁣dΩ\oiint\limits_S P\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathop{}\!\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint\limits_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega