多元函数的基本概念

N 维空间

称有序数组 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_1, x_2, \cdots, x_n) 为一个 nn 维点（nn 维向量）。所有 nn 维点组成的集合称之为 nn 维空间，记为 Rn\mathbb{R}^n。

N 维空间的距离

设 A(x1,x2,⋯ ,xn)A(x_1, x_2, \cdots, x_n) 和 B(y1,y2,⋯ ,yn)B(y_1, y_2, \cdots, y_n) 为 Rn\mathbb{R}^n 空间上任意两点，称

ρ(A,B)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2\rho(A, B) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}

为 A,BA, B 两点间的距离。

邻域

设 α=(a1,a2,⋯ ,an)∈Rn\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n，δ\delta 是某一正数，则 nn 维空间内的点集

U(a,δ)={x∣x∈Rn,ρ(x,a)<δ}U(a, \delta) = \{x|x\in \mathbb{R}^n, \rho(x, a) < \delta\}

就定义为 Rn\mathbb{R}^n 中点 aa 的 δ\delta 邻域。

记 U˚(a,δ)\mathring{U}(a, \delta) 为不含 aa 点的去心邻域。

内点、界点和聚点

  • 内点：设 D⊂RnD \subset \mathbb{R}^n，P0∈RnP_0 \in \mathbb{R}^n，若存在 P0P_0 的一个邻域使此邻域属于 DD，称 P0P_0 为 DD 的内点。

  • 界点：设 D⊂RnD \subset \mathbb{R}^n，P0∈RnP_0 \in \mathbb{R}^n，若对 P0P_0 的任何邻域总有 DD 中的点且总有 DD 外的点，则称 P0P_0 为 DD 的界点。

  • 聚点：∀δ>0\forall \delta > 0，点 P0P_0 的去心邻域 U˚(P0,δ)\mathring{U}(P_0, \delta) 中总有 DD 中的无穷多个点，称 P0P_0 为集合 DD 的一个聚点。

其他

  • 边界：界点的全体称为 DD 的边界。
  • 开集：由全部内点组成的集合称为开集。
  • 开区域：连通的开集称为开区域。
  • 闭区域：开区域 + 边界 = 闭区域。
  • 有界集：对平面点集 EE，若 ∃r>0\exist r > 0，E⊂U(O,r)E \subset U(O, r)，OO 为坐标原点，称 EE 为有界集。

多元函数的极限

定义

设 z=f(P)=f(x,y)z = f(P) = f(x, y) 在 DD 上有定义，P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 为 DD 的一聚点，AA 是一实数，若对 ∀ε>0\forall \varepsilon > 0，存在 δ>0\delta > 0，使得当 0<ρ(P,P0)<δ0 < \rho(P, P_0) < \delta 时，恒有

∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε\left\vert f(P) - A \right\vert = \left\vert f(x, y) - A \right\vert < \varepsilon

则称二元函数 f(x,y)f(x, y) 在点 P0P_0 处有二重极限。

记 lim⁡P→P0f(P)=lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A\lim\limits_{P \to P_0} f(P) = \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = \lim\limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y) = A

性质

lim⁡x→x0y→y0f(x,y)\lim\limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y) 存在 ⇔\Leftrightarrow 点 P(x,y)P(x, y) 沿任何方向、任何路径趋向于 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 时，极限都存在且相等。

连续

定义

设 (x0,y0)(x_0, y_0) 是 DD 的聚点，z=f(x,y)z = f(x, y) 在 DD 上有定义，且 lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=f(x0,y0)\lim\limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y) = f(x_0, y_0) 或 lim⁡Δx→0Δy→0[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)]=0\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0}\left[f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\right] = 0，则称 f(x,y)f(x, y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处连续。

性质

反函数性质去掉，其他的和一元函数相同。

偏导数

定义

设 z=f(x,y)z = f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 邻域内有定义，固定 y=y0y= y_0，若极限 lim⁡x→x0f(x,y0)−f(x0,y0)x−x0=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x,y_0) - f(x_0, y_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} 存在，则称 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处关于 xx 的偏导数存在。

记为 zx′∣x=x0y=y0=fx′(x0,y0)=f1′(x0,y0)=∂z∂x∣(x0,y0)z'_x \Big| _{x=x_0\atop y=y_0} = f'_x(x_0, y_0) = f'_1(x_0, y_0) = \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0)}

同样定义

lim⁡y→y0f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0=lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy=zy′∣x=x0y=y0=fy′(x0,y0)=f2′(x0,y0)=∂z∂y∣(x0,y0)\begin{split} \lim\limits_{y\to y_0} \frac{f(x_0,y) - f(x_0, y_0)}{y-y_0} = \lim\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x_0 , y_0+ \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} \\ = z'_y \Big| _{x=x_0\atop y=y_0} = f'_y(x_0, y_0) = f'_2(x_0, y_0) = \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0)} \end{split}

设 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 DD 上每一点都有偏导，则其偏导又是 DD 上一个新的二元函数——称之为 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上的偏导（函）数。

记为 zx′=fx′=f1′=∂z∂xz'_x = f'_x = f'_1 = \frac{\partial z}{\partial x}；zy′=fy′=f2′=∂z∂yz'_y = f'_y = f'_2 = \frac{\partial z}{\partial y}。

几何意义

fx′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0) 表示曲线 {y=y0z=f(x,y)\begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x,y) \end{cases} 在点 (x0,y0,f(x0,y0))(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) 处切线的斜率。

性质

若 z=f(x,y)z = f(x,y) 的二阶混合偏导数 fxy′′,fyx′′f''_{xy}, f_{yx}'' 都存在且连续，则 fxy′′=fyx′′f''_{xy} = f_{yx}''。

全微分

定义

设 z=f(x,y)z = f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 邻域内有定义，f(x,y)f(x,y) 的全增量 Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) 可表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)，其中 A,BA, B 为常数，ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}，则称 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处可微，并称 AΔx+BΔyA\Delta x + B\Delta y 为 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处的全微分。

记为 dzdz，即 dz=AΔx+BΔy=Adx+Bdydz = A\Delta x + B\Delta y = Adx + Bdy

性质

  • 设 z=f(x,y)z = f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点可微，则 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点处连续。

  • 设 z=f(x,y)z = f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点可微，则 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点处两个偏导数 fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0) 都存在，且

dz∣x=x0y=y0=fx′(x0,y0)dx+fy′(x0,y0)dydz \Big|_{x=x_0\atop y=y_0} = f'_x(x_0, y_0)dx + f'_y(x_0, y_0)dy

  • 设 z=f(x,y)z = f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点偏导数 fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0) 都存在，且这两个偏导又在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处连续，则 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点可微。

几何意义

z=f(x0,y0)+fx′(x0,y0)(x−x0)+fy′(x0,y0)(y−y0)z = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y-y_0) 是一个平面。

该平面是过曲线 {x=x0z=f(x,y)\begin{cases} x = x_0 \\ z = f(x,y) \end{cases} 和 {y=y0z=f(x,y)\begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x,y) \end{cases} 在点 (x0,y0,f(x0,y0))(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) 处两切线的平面。

复合函数

链式法则

设 z=f(u,v)z = f(u, v) 可微，而 u=φ(x,y),v=ψ(x,y)u = \varphi(x,y),v=\psi(x,y) 偏导存在，则 zz 关于 xx 和 yy 的偏导数存在，且

∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x=fu′φx′+fv′ψx′ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f'_u\varphi'_x + f'_v \psi'_x

∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x=fu′φx′+fv′ψx′ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f'_u\varphi'_x + f'_v \psi'_x

全微分

设 z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)z = f(u,v),u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y) 均可微，则不论将 zz 看成 (u,z)(u,z) 的函数还是 (x,y)(x,y) 的函数，其微分形式不变，即

dz=∂z∂udu+∂z∂vdv=∂z∂xdx+∂z∂ydydz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy

隐函数

隐函数存在的微分法则

设 F(x,y)F(x,y) 是 (x0,y0)(x_0,y_0) 邻域内满足

  1. F(x0,y0)=0F(x_0,y_0) = 0
  2. Fx′(x,y),Fy′(x,y)F'_x(x,y),F'_y(x,y) 连续
  3. Fy′(x0,y0)≠0F'_y(x_0,y_0)\ne 0

则方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 邻域内能唯一确定 y=f(x)y=f(x)，且此函数连续可导，而 dydx=−Fx′(x,y)Fy′(x,y)\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}

推广

设 F(x,y,z)F(x,y,z) 是 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 邻域内满足

  1. F(x0,y0,z0)=0F(x_0, y_0, z_0) = 0
  2. Fx′(x,y,z),Fy′(x,y,z),Fz′(x,y,z)F'_x(x,y,z),F'_y(x,y,z),F'_z(x,y,z) 连续
  3. Fz′(x0,y0,z0)≠0F'_z(x_0,y_0,z_0) \ne 0

则方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0 在 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 邻域唯一确定一个单值函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，且此函数连续可导，而

∂z∂x=−Fx′Fz′,∂z∂y=−Fy′Fz′\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}

方程组确定隐函数

存在准则

略，不常用且难记。

前置芝士

nn 个方程，mm 个变量组成方程组（m>nm>n）能确定 nn 个 m−nm-n 元函数。

解法

求解的时候判断是一元函数还是多元函数，一元函数就求导，多元函数就求偏导，最后解方程组即可求出答案。

极值

二元函数的 Taylor 公式

若 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 邻域内有 n+1n+1 阶连续偏导数，则称

f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+11!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)f(x0,y0)+12!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)2f(x0,y0)+⋯+1n!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)nf(x0,y0)+1(n+1)!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)n+1f(x0+θΔx,y0+θΔy),θ∈(0,1)f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + \frac{1}{1!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^2f(x_0, y_0) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^nf(x_0, y_0) + \frac{1}{(n+1)!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y),\theta \in (0,1)

为 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 点处 nn 阶 Taylor 公式。

二元函数极值

设 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 邻域内有连续二阶偏导，且

fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0f'_x(x_0,y_0) = f'_y(x_0,y_0) = 0

令 A=fxx′′(x0,y0),B=fxy′′(x0,y0),C=fyy′′(x0,y0)A = f''_{xx}(x_0, y_0), B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)

  1. 当 Δ=B2−AC>0\Delta = B^2 - AC >0 时，f(x0,y0)f(x_0,y_0) 不是极值；
  2. 当 Δ=B2−AC<0\Delta = B^2 - AC < 0时，f(x0,y0)f(x_0,y_0) 是极值。
    • 若 A>0A>0（或 C>0C>0）时，f(x0,y0)f(x_0,y_0) 是极小值；
    • 若 A<0A<0（或 C<0C<0）时，f(x0,y0)f(x_0,y_0) 是极大值。

条件极值

定义

若 z=f(x,y)z = f(x,y) 为 DD 上的二元函数，求 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 DD 上满足条件 g(x,y)=0g(x,y)=0 的极值称之为函数的条件极值。

拉格朗日乘数法

设 f(x1,x2,⋯ ,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n) 为 DD 上 nn 元函数，gi(x1,x2,⋯ ,xn)=0g_i(x_1, x_2, \cdots, x_n)=0（i=1,2,⋯ ,mi = 1,2,\cdots,m 且 m<nm < n）是 DD 上 mm 个条件，则 ff 在这 mm 个条件下极值（驻点）等价于（m+nm+n）元函数

F(x1,x2,⋯ ,xn,λ1,λ2,⋯ ,λm)=f(x1,x2,⋯ ,xn)+∑i=1mλigi(x1,x2,⋯ ,xn)F(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m) = f(x_1,x_2,\cdots,x_n) + \sum\limits_{i=1}^m \lambda_ig_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)

的无条件极值（驻点）。

关系图

连续 偏导 可微 方向导数
连续 √ × × ×
偏导 × √ × ×
可微 √ √ √ √
方向导数 × × × √