合同矩阵

定义

给定两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩阵 $C$ ，使得

$B = C^\prime A C$

则称 $A$ 和 $B$ 合同。

性质

自反性：任一 $n$ 阶方阵 $A$ 都与自身合同
对称性：若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 合同
传递性：若 $A$ 与 $B$ 合同，且 $B$ 与 $C$ 合同，则 $A$ 与 $C$ 合同

对任一实对称矩阵 $A$ ，存在正交矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP = P^\prime AP = D$ 为对角矩阵，因此，任一实对称矩阵都与对角矩阵合同。

对称矩阵与非对称矩阵不合同。

若 $A, B$ 均为实对称矩阵，则

$A \backsimeq B \Leftrightarrow A\,与\,B\,的正惯性指数，负惯性指数对应相等$

二次型

定义

含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，而系数取自数域 $F$ 的 $n$ 元二次齐次函数

$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n a_{ij}x_ix_j$

称为数域 $F$ 上的 $n$ 元二次型，简称二次型。

记

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} ,\ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

则二次型可记为

$f = X^\prime A X$

称对称矩阵 $A$ 为二次型 $f$ 的对称矩阵，称 $A$ 的秩为二次型 $f$ 的秩。

化标准形

称只含平方项的二次型为标准二次型。

称形如

$f = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p + 1}^2 - \cdots - y_{p + 1}^2$

的实二次型为规范二次型。

正交变换

对任意 $n$ 元实二次型

$f = X^\prime AX$

存在正交线性变换

$X = PY$

将二次型 $f$ 化为标准形

$f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值。

拉格朗日配方法

初等变换（狗都不用）

正定实二次型

惯性定律

设 $n$ 元实二次型 $f = X^\prime AX$ 经实可逆线性变换 $X = C_1Y, X = C_2Z$ 分别化为标准形

$f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + \cdots + k_ny_n^2\\ f = l_1z_1^2 + l_2z_2^2 + \cdots + l_nz_n^2$

则 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 中正数的个数与 $l_1, l_2, \cdots, l_n$ 中正数的个数相等， $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 中负数的个数与 $l_1, l_2, \cdots, l_n$ 中负数的个数也相等，分别称之为 $f$ 的正惯性指数与负惯性指数。

正定二次型

定义

设有 $n$ 元实二次型 $f = X^\prime AX$ ，如果对 $\mathbb{R}^n$ 中任何列向量 $X \ne 0$ ，都有 $X^\prime AX > 0$ ，则称 $f$ 为正定二次型。称正定二次型的矩阵为正定矩阵。

显然，正定矩阵一定是实对称矩阵，反之未必。

性质

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，顺序选取 $A$ 的前 $k(0 \le k \le n)$ 行、前 $k$ 列构成的矩阵称为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子阵，其行列式称为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式。

下面是 $n$ 元实二次型 $f = X^\prime AX$ 为正定二次型的充要条件：

$f$ 的标准形中的 $n$ 个系数全为正数，即 $f$ 的正惯性指数是 $n$ 。
$f$ 的矩阵 $A$ 的特征值全大于零。
存在实可逆矩阵 $Q$ ，使 $A = Q^\prime Q$ 。
$A$ 的各阶顺序主子式都大于零。

空间中的曲面与直线

球面

已知球面的球心在点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ ，半径是 $r$ ，则该球面方程为

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$

柱面

平行于定直线并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 $C$ 叫做柱面的准线，动直线 $L$ 叫做柱面的母线。

椭圆柱面

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

双曲柱面

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

抛物柱面

$x^2 = 2py$

旋转曲面

由一条平面曲线 $C$ 绕该平面上的一条定直线 $L$ 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，曲线 $C$ 称为母线，直线 $L$ 称为旋转轴。

圆锥面

$z^2 = k^2(x^2 + y^2)$

单叶旋转双曲面

$\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1$

双叶旋转双曲面

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2 + z^2}{b^2} = 1$

旋转椭球面

$\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1$

旋转抛物面

$x^2 + y^2 = 2pz$

空间曲线

空间曲线可以视为两个通过它的曲面的交线。若空间曲线 $C$ 是两个曲面

$S_1 : F(x, y, z) = 0\\ S_2 : G(x, y, z) = 0$

的交线，则曲线 $C$ 的方程为

$\begin{cases} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$

称其为空间曲线 $C$ 的一般方程。

有时，空间曲线 $C$ 的方程也可以用参数表示成

$\begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{cases}$

设 $C$ 是一条空间曲线， $\pi$ 是一个平面，以 $C$ 为准线，作母线垂直于 $\pi$ 的柱面，该柱面与平面 $\pi$ 的交线叫做 $C$ 在平面 $\pi$ 上的投影曲线，简称投影。

设曲线 $C$ 的方程是

$\begin{cases} F_1(x, y, z) = 0\\ F_2(x, y, z) = 0 \end{cases}$

从这个方程组中消去 $z$ 可以得到以 $C$ 为准线，母线垂直于 $xOy$ 面的柱面方程

$F(x, y) = 0$

故曲线

$\begin{cases} F(x, y) = 0\\ z = 0 \end{cases}$

是曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影。

二次曲线

一般的三元二次方程都可写成

$X^\prime AX + v^\prime X + a_{44} = 0$

存在正交变换

$X = PY$

使二次型 $X^\prime AX$ 化为标准二次型 $\lambda_1x^{\prime 2} + \lambda_2y^{\prime 2} + \lambda_3z^{\prime 2}$ 。这意味着存在三维几何空间中适当的直角坐标系，使原来的三元二次方程化成

$\lambda_1x^{\prime 2} + \lambda_2y^{\prime 2} + \lambda_3z^{\prime 2} + a_{14}^\prime x^\prime + a_{24}^\prime y^\prime + a_{34}^\prime z^\prime + a_{44} = 0$

再作平移变换，可化简为

$\lambda_1\bar{x}^2 + \lambda_2\bar y^2 + \lambda_3\bar z^2 = d$

椭球面

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

单叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

双叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

椭圆抛物面

$\frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z\quad（p, q\ 同号）$

双曲抛物面（马鞍面）

$\frac{x^2}{2p} - \frac{y^2}{2q} = z\quad（p, q\ 同号）$

二次锥面

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$