函数

映射

定义

设 $X, Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$，使得对 $X$ 中每个元素 $x$，按法则 $f$，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作

$$f:X\rightarrow Y$$

其中 $y$ 称为元素 $x$（在映射 $f$ 下）的像，并记作 $f(x)$，即

$$y = f(x)$$

而元素 $x$ 称为元素 $y$（在映射 $f$ 下）的一个原像；集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f = X$；$X$ 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(X)$，即

$$R_f = f(X) = \{f(x) | x \in X\}$$

从上述映射的定义中，需要注意的是：

1. 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 $X$，即定义域 $D_f = X$；集合 $Y$，即值域的范围：$R_f \subset Y$；对应法则 $f$，使对每个 $x \in X$，有唯一确定的 $y = f(x)$与之对应。
2. 对每个 $x \in X$，元素 $x$ 的像 $y$ 是唯一的；而对每个 $y \in R_f$，元素 $y$ 的原像不一定是唯一的；映射 $f$ 的值域 $R_f$ 是 $Y$ 的一个子集，即 $R_f \subset Y$，不一定 $R_f = Y$。

设 $f$ 是从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的映射，若 $R_f = Y$，即 $Y$ 中任一元素 $y$ 都是 $X$ 中某元素的像，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 上的映射或满射；若对 $X$ 中任一两个不同元素 $x_1 \ne x_2$，它们的像 $f(x_1) \ne f(x_2)$，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射；若映射 $f$ 既是单射，又是满射，则称 $f$ 为一一映射（或双射）。

逆映射

设 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射，则由定义，对每个 $y \in R_f$，有唯一的 $x \in X$，适合 $f(x) = y$。于是，我们可定义一个从 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g$，即

$$g:R_f \rightarrow X$$

对每个 $y \in R_f$，规定 $g(y) = x$，这 $x$ 满足 $f(x) = y$。这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$，其定义域 $D_{f^{-1}} = R_f$，值域 $R_{f^{-1}} = X$。、

复合映射

设有两个映射

$$g:X \rightarrow Y_1 \quad f:Y_2 \rightarrow Z$$

其中 $Y_1 \subset Y_2$，则由映射 $g$ 和 $f$ 可以定出一个从 $X$ 到 $Z$ 的对应法则，它将每个 $x \in X$ 映成 $f\left[g(x)\right] \in Z$。显然，这个对应法则确定了一个从 $X$ 到 $Z$ 的映射，这个映射称为映射 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射，记作 $fg$，即

$$f\circ g:X\rightarrow Z,\quad(f\circ g)(x) = f\left[g(x)\right], x \in X$$

由复合映射的定义可知，映射 $g$ 和 $f$ 构成复合映射的条件是：$g$ 的值域 $R_g$ 必须包含在 $g$ 的定义域内，即 $R_g \subset D_f$。否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射 $g$ 和 $f$ 的复合是有顺序的，$f \circ g$ 由意义并不表示 $g \circ f$ 有意义。即使 $f \circ g$ 和 $g \circ f$ 都有意义，复合映射 $f \circ g$ 与 $g \circ f$ 也未必相同。

函数

定义

设数集 $D \subset R$，则称映射 $f : D \rightarrow R$ 为定义在 $D$ 上的**函数，通常简记为

$$y = f(x),\ x \in D$$

其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为定义域，记作 $D_f$，即 $D_f = D$。

函数的定义中，对每个 $x \in D$，按对应法则 $f$，总有唯一确定的值 $y$ 与之对应，这个值称为函数 $f$ 在 $x$ 处的函数值，记作 $f(x)$，即 $y = f(x)$。因变量 $y$ 与自变量 $x$ 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(D)$，即

$$R_f = f(D) = \{y|y = f(x),\ x \in D\}$$

性质

1. 函数的有界性 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $X \subset D$，如果存在数 $K_1$，使得

$$f(x) \le K_1$$

对任一 $x \in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界，而 $K_1$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个上界。如果存在数 $K_2$，使得

$$f(x) \ge K_2$$

对任一 $x \in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有下界，而 $K_2$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个下界。如果存在正数 $M$，使得

$$\left\vert f(x) \right\vert \le M$$

对任一 $x \in X$ 都成立，那么函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界。如果这样的 $M$ 不存在，就称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上无界。

2. 函数的单调性

3. 函数的奇偶性

4. 函数的周期性

反函数

设函数 $f: D \rightarrow f(D)$ 是单射，则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D) \rightarrow D$，称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数。

按此定义，对每个 $y \in f(D)$，有唯一的 $x \in D$，使得 $f(x) = y$，于是有

$$f^{-1}(y) = x$$

复合函数

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u = g(x)$ 的定义域为 $D_g$，且其值域 $R_g \subset D_f$，则由下式确定的函数

$$y = f\left[ g(x) \right],\quad x \in D_g$$

称为由函数 $u =g(x)$ 与函数 $y = f(u)$ 构成的复合函数，它的定义域为 $D_g$，变量 $u$ 称为中间变量。

函数 $g$ 与函数 $f$ 构成的复合函数，即按“先 $g$ 后 $f$”的次序复合的函数，通常记为 $f \circ g$，即

$$(f \circ g)(x) = f\left[g(x)\right]$$

与复合映射一样，$g$ 与 $f$ 能构成复合函数 $f \circ g$ 的条件是：函数 $g$ 的值域 $R_g$ 必须包含于函数 $f$ 的定义域 $D_f$，即 $R_g \subset D_f$

函数的运算

设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域依次为 $D_f, D_g, D = D_f \cap D_g \ne \varnothing$，则我们定义这两个函数的下列运算：

• 和（差）$f \pm g$：$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x), x \in D$
• 积 $f \cdot g$：$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x), x \in D$
• 商 $\frac{f}{g}$：$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D \setminus \{x | g(x) = 0, x \in D \}$

初等函数

• 幂函数：$y = x^\mu$（$\mu \in \R$）是函数
• 指数函数：$y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）
• 对数函数：$y = \log_a^x$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）
• 三角函数：如 $y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x$
• 反三角函数：如 $y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x$

以上这五类函数统称为基本初等函数。

有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。