傅里叶变换

傅里叶级数的物理含义

fT(t)=A0+∑n=1+∞Ancos⁡(nω0t+θn)f_T(t) = A_0 + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} A_n \cos(n\omega_0t + \theta_n)

含义：周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和。

傅里叶级数的三角形式

Dirichlet 定理：设 fT(t)f_T(t) 是以 TT 为周期的实值函数，且在区间 [−T2,T2][-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}] 上满足如下条件（称为 Dirichlet 条件）：

  1. 连续或只有有限个第一类间断点；
  2. 只有有限个极值点。

则在 fT(t)f_T(t) 的连续点处有

fT(t)=a02+∑n=1+∞(ancos⁡nω0t+bnsin⁡nω0t)f_T(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega_0t + b_n\sin n\omega_0t)

在间断处有

12[fT(t+)+fT(t−)]=a02+∑n=1+∞(ancos⁡nω0t+bnsin⁡nω0t)\frac{1}{2}[f_T(t^+) + f_T(t^-)] = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega_0t + b_n\sin n\omega_0t)

其中

an=2T∫−T2T2fT(t)cos⁡nω0tdt,n=0,1,2,⋯bn=2T∫−T2T2fT(t)sin⁡nω0tdt,n=1,2,⋯ω0=2πT,称之为基频a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) \cos n\omega_0 tdt,\quad n = 0,1,2,\cdots \\ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) \sin n\omega_0 tdt,\quad n = 1,2,\cdots \\ \omega_0 = \frac{2\pi}{T},\quad\text{称之为基频}

傅里叶级数的指数形式

fT(t)=∑n=−∞+∞cnejnω0tf_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0t}

其中

cn=1T∫−T2T2fT(t)e−jnω0tdt,n=0,±1,±2,⋯c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t) e^{-jn\omega_0 t}dt,\quad n=0,\pm1,\pm2,\cdots

非周期函数的傅里叶变换

设函数 f(t)f(t) 满足

  1. 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件
  2. 绝对可积，即 ∫−∞+∞∣f(t)∣dt<∞\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt < \infty

则在 f(t)f(t) 的连续点处，有

f(t)=12π∫−∞+∞[∫−∞+∞f(t)e−jωtdt]ejωtdωf(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \right]e^{j\omega t}d\omega

称之为傅里叶积分公式，在 f(t)f(t) 的间断处，公式的左端应为 12[f(t−)+f(t+)]\frac{1}{2}[f(t^-)+f(t^+)]

傅里叶积分公式

定义傅里叶正变换为

F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=F[f(t)]F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt = \mathscr{F}[f(t)]

定义傅里叶逆变换为

f(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdω=F−1[F(ω)]f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]

其中，F(ω)F(\omega) 称为象函数，f(t)f(t) 称为象原函数。f(t)f(t) 与 F(ω)F(\omega) 称为傅里叶变换对，记为 f(t)↔F(ω)f(t) \leftrightarrow F(\omega)

重要积分公式

∫−∞+∞sin⁡axxdx={πa>00a=0−πa<0\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin ax}{x} dx = \begin{cases} \pi & a > 0 \\ 0 & a = 0 \\ -\pi & a < 0 \\ \end{cases}

单位脉冲函数

称满足

δ(t)={0t≠0∞t=0∫−∞+∞δ(t)dt=1\begin{split} &\delta(t) = \begin{cases} 0 & t \neq 0 \\ \infty & t = 0 \end{cases} \\ & \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1 \end{split}

的函数叫单位脉冲函数，又叫 Dirac 函数或者 δ\delta 函数。

极限方式的定义

令

δε(t)={1ε0≤t≤ε0其他\delta_\varepsilon(t) = \begin{cases} \frac{1}{\varepsilon} & 0 \le t \le \varepsilon \\ 0 & 其他 \end{cases}

则 δ(t)=lim⁡ε→0δε(t)\delta(t) = \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\delta_\varepsilon(t)

性质

  1. 筛选性质：设 f(t)f(t) 是任意函数，若 f(t)f(t) 在 t=t0t = t_0 处连续，则 ∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)
  2. 缩放性质：设 a∈R,a≠0a\in R, a \neq 0，则 δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)
  3. 导数性质：设 n∈Nn \in N，则 δ(n)(−t)=(−1)nδ(n)(t)\delta^{(n)}(-t) = (-1)^n\delta^{(n)}(t)
  4. δ(t)\delta(t) 为偶函数

常用傅里叶变换对

  • δ(t)↔1\delta(t) \leftrightarrow 1
  • δ(t−t0)↔e−jωt0\delta(t-t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0}
  • 1↔2πδ(ω)1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)
  • ejω0t↔2πδ(ω−ω0)e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega - \omega_0)
  • sgn⁡t↔2jω\operatorname{sgn}t \leftrightarrow \frac{2}{j\omega}
  • u(t)↔1jω+πδ(ω)u(t) \leftrightarrow \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)
  • χ[−a,a]↔2sin⁡aωω,a>0\chi_{[-a, a]} \leftrightarrow 2 \frac{\sin a\omega}{\omega}, a>0
  • u(t)e−αt↔1α+jω,α>0u(t)e^{-\alpha t} \leftrightarrow \frac{1}{\alpha + j\omega}, \alpha>0

傅里叶变换的性质

  • 线性性质：设 a,ba,b 为常数，则 F[af(t)+bg(t)]=aF(ω)+bG(ω)\mathscr{F}[af(t) + bg(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)。逆变换同理 F−1[aF(ω)+bG(ω)]=af(t)+bg(t)\mathscr{F}^{-1}[aF(\omega) + bG(\omega)] = af(t) + bg(t)
  • 缩放平移性质
    1. F[f(at+b)](ω)=1∣a∣ejbωaF(ωa)\mathscr{F}[f(at+b)](\omega) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{jb\omega}{a}}F(\frac{\omega}{a})
    2. F[ejω0tf(t)]=F(ω−ω0)\mathscr{F}[e^{j\omega_0 t}f(t)] = F(\omega - \omega_0)
  • 微分性质：若 lim⁡∣t∣→+∞f(k)(t)=0\lim\limits_{|t|\to +\infty}f^{(k)}(t) = 0，（k=0,1,2,⋯ ,n−1k=0,1,2,\cdots,n-1），则 F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω)\mathscr{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^nF(\omega)。同理，F−1[F(n)(ω)]=(−jt)nf(t)\mathscr{F}^{-1}[F^{(n)}(\omega)] = (-jt)^n f(t)
  • 帕塞瓦尔等式：∫−∞+∞∣f(t)∣2dt=12π∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2 d\omega，该定理表明信号在时域中的总能量和在频域中的总能量是相等的。

卷积

设函数 f1(t)f_1(t) 与 f2(t)f_2(t) 在区间 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上有定义，如果广义积分 ∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau 对任何实数 tt 都收敛，则称此 g(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτg(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau 函数为 f1(t)f_1(t) 与 f2(t)f_2(t) 的卷积，记为 f1(t)∗f2(t)f_1(t)*f_2(t)

卷积的性质

  1. 交换性质：f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)f_1(t)*f_2(t) = f_2(t) * f_1(t)
  2. 结合性质：f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)]=[f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)] = [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)
  3. 线性性质：g(t)∗[af1(t)+bf2(t)]=ag(t)∗f1(t)+bg(t)∗f2(t)g(t)*[af_1(t)+bf_2(t)]=ag(t)*f_1(t)+bg(t)*f_2(t)

卷积定理

设 F[f1(t)]=F1(ω)\mathscr{F}[f_1(t)] = F_1(\omega)，F[f2(t)]=F2(ω)\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)，则有

F[f1(t)∗f2(t)]=F1(ω)⋅F2(ω)F−1[F1(ω)∗F2(ω)]=2πf1(t)⋅f2(t)\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega) \\ \mathscr{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)] = 2\pi f_1(t) \cdot f_2(t)