连续

定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$\lim\limits_{\Delta x \to 0} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\left\vert f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\right\vert = 0$

那么就称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

也可表述为：

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$

那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

也可用 $\varepsilon\!-\!\delta$ 语言表述为：

$f(x) 在点 x_0 连续 \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 当 \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 时,有 \left\vert f(x) - f(x_0) \right\vert < \varepsilon$

如果 $\lim\limits_{x\to x_0^-} = f(x_0^-)$ 存在且等于 $f(x_0)$ ，即

$f(x_0^-) = f(x_0)$

那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续。

同理，如果 $\lim\limits_{x\to x_0^+} = f(x_0)$ 存在且等于 $f(x_0)$ ，即

$f(x_0^+) = f(x_0)$

那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续。

在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。

运算

定理 $1\quad$ 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差） $f\pm g$ 、积 $f \cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$ （当 $g(x_0) \ne 0$ 时）都在点 $x_0$ 连续。

定理 $2\quad$ 如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y = \{y|y = f(x), x\in I_x\}$ 上单调增加（或单调减少）且连续。

定理 $3\quad$ 设函数 $y = f\left[g(x)\right]$ 由函数 $u = g(x)$ 与函数 $y = f(u)$ 复合而成， $\mathring{U}(x_0) \subset D_{f \cdot g}$ 。若 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = u_0$ ，而函数 $y = f(u)$ 在 $u = u_0$ 连续，则

$\lim\limits_{x\to x_0}f\left[g(x)\right] = \lim\limits_{u\to u_0}f(u) = f(u_0)$

定理 $4\quad$ 设函数 $y = f\left[g(x)\right]$ 由函数 $u = g(x)$ 与函数 $y = f(u)$ 复合而成， $\mathring{U}(x_0) \subset D_{f \cdot g}$ 。若函数 $u = g(x)$ 在 $x = x_0$ 连续，且 $g(x_0) = u_0$ ，而函数 $y = f(u)$ 在 $u = u_0$ 连续，则复合函数 $y = f\left[g(x)\right]$ 在 $x = x_0$ 也连续。

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

性质

如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，在右端点 $b$ 左连续，在左端点 $a$ 右连续，那么函数 $f(x)$ 就是在闭区间 $[a, b]$ 上连续的。

定理 $1$ （有界性与最大值最小值定理） $\quad$ 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

定理 $2$ （零点定理） $\quad$ 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a) \cdot f(b) < 0$ ），则在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使

$f(\xi) = 0$

定理 $3$ （介值定理） $\quad$ 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

$f(a) = A\quad 及\quad f(b) = B$

则对于 $A$ 与 $B$ 之间任意一个数 $C$ ，在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使得

$f(\xi) = C\quad(a < \xi < b)$

推论 $\quad$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 的值域为闭区间 $[m, M]$ ，其中 $m$ 与 $M$ 依次为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值与最大值。

间断点

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

在 $x=x_0$ 没有定义
虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在
虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) \ne f(x_0)$

那么函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 为不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点。

连续

定义

运算

性质

间断点

定义

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