向量

数量积

定义

设 a,ba, b 是两个几何向量，称 ∣a∣∣b∣cos⁡θ\left\vert a\right\vert \left\vert b\right\vert \cos\theta 为 aa 与 bb 的数量积或内积，记作 a⋅ba \cdot b，即

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θa \cdot b = \left\vert a\right\vert \left\vert b\right\vert \cos\theta

性质

  • a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a（交换律）
  • (ka)⋅b=k(a⋅b)(ka) \cdot b = k(a \cdot b)
  • (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c（分配律）
  • a⋅a≥0a \cdot a \ge 0。此外，a⋅a=0a \cdot a = 0 的充要条件是 a=0a = 0。

向量积

定义

若 a,ba, b 不平行，则

  • ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ\left\vert a \times b\right\vert = \left\vert a\right\vert \left\vert b\right\vert \sin\theta
  • a×b⊥a,a×b⊥ba \times b \perp a, a \times b \perp b
  • 向量 a,b,a×ba, b, a \times b 构成右手系

性质

  • a×b=−b×aa \times b = -b \times a
  • (ka)×b=k(a×b)=a×(kb)(ka)\times b = k(a\times b) = a \times (kb)
  • (a+b)×c=(a×c)+(b×c)a×(b+c)=(a×b)+(a×c)(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)\\a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

混合积

定义

已知三个向量 a,ba, b 和 cc。先作 aa 和 bb 的向量积 a×ba \times b，把所得的向量与 cc 再作数量积 (a×b)⋅c(a \times b) \cdot c，这样得到的数量叫做三向量 a,b,ca, b, c 的混合积，记为 [abc]\left[abc\right]。

向量的混合积有如下几何意义：[abc]=(a×b)⋅c\left[abc\right] = (a \times b) \cdot c 的绝对值表示以向量 a,b,ca, b, c 为棱的平行六面体的体积。如果向量 a,b,ca, b, c 组成右手系，那么混合积的符号是正的；如果 a,b,ca, b, c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。

性质

[abc]=0⇔a,b,c 共面\left[abc\right] = 0 \Leftrightarrow a,b,c\ 共面

[abc]=[bca]=[cab]=−[bac]=−[cba]=−[acb]\left[abc\right] = \left[bca\right] = \left[cab\right] = -\left[bac\right] = -\left[cba\right] = -\left[acb\right]

设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz)a = (a_x, a_y, a_z), b = (b_x, b_y, b_z), c = (c_x, c_y, c_z)，则

[abc]=∣axayazbxbybzcxcycz∣[abc] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}

空间中的平面与直线

平面

设平面 π\pi 通过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) 并且垂直于非零向量 n=(A,B,C)n = (A, B, C)，则平面 π\pi 的点法式方程为：

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

将其整理得

Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0

其中 D=−(Ax0+By0+Cz0)D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)，称其为平面 π\pi 的一般方程

设 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)M_1(x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2), M_3(x_3, y_3, z_3) 是空间中不在同一条直线上的三点，则称

∣x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1∣=0\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

为平面 π\pi 的三点式方程。

设平面 π\pi 与 x,y,zx, y, z 轴分别交于 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)，则称

xa+yb+zc=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

为平面 π\pi 的截距式方程。

直线

设直线 LL 过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)，并且平行于已知非零向量 s=(m,n,p)s = (m, n, p)，则称

x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}

为直线 LL 的标准方程。

令其比值为 tt，则称

{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}

为直线 LL 的参数方程。

设平面 π1,π2\pi_1, \pi_2 为

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_1 : A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ \pi_2 : A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

若 π1,π2\pi_1, \pi_2 的交线为直线 LL，则称

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}

为直线 LL 的一般方程。

设直线 LL 过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) 和点 M1(x1,y1,z1)M_1(x_1, y_1, z_1)，则称

x−x0x1−x0=y−y0y1−y0=z−z0z1−z0\frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{z - z_0}{z_1 - z_0}

为直线 LL 的二点式方程。

位置关系

平面与平面

设有两个平面

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_1 : A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ \pi_2 : A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

可将 π1,π2\pi_1, \pi_2 的位置关系分为如下三种情形。

  1. π1,π2\pi_1, \pi_2 重合。其充要条件是

A1A2=B1B2=C1C2=D1D2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}

  1. π1,π2\pi_1, \pi_2 平行（不包括重合）。其充要条件是

A1A2=B1B2=C1C2≠D1D2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2}

  1. π1,π2\pi_1, \pi_2 交于一条直线。其充要条件是 n1=(A1,B1,C1)n_1 = (A_1, B_1, C_1) 与 n2=(A2,B2,C2)n_2 = (A_2, B_2, C_2) 不平行。

当 π1,π2\pi_1, \pi_2 是两个相交的平面时，称它们的法向量的夹角 φ\varphi 为这两个平面的夹角，通常规定

0≤φ≤π20 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}

平面 π1\pi_1 与 π2\pi_2 的夹角 φ\varphi 可由公式

cos⁡φ=∣A1A2+B1B2+C1C2∣A12+B12+C12A22+B22+C22\cos\varphi = \frac{\left\vert A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 \right\vert}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

来确定。

显然，π1\pi_1 与 π2\pi_2 垂直的充要条件时它们的法向量 n1n_1 与 n2n_2 垂直，即

A1A2+B1B2+C1C2=0A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0

直线与直线

设有两条直线

L1:x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1L2:x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2L_1 : \frac{x - x_1}{m_1} = \frac{y - y_1}{n_1} = \frac{z - z_1}{p_1}\\ L_2 : \frac{x - x_2}{m_2} = \frac{y - y_2}{n_2} = \frac{z - z_2}{p_2}

M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)M_1(x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2) 分别是 L1,L2L_1, L_2 上的定点。s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2)s_1=(m_1, n_1, p_1), s_2=(m_2, n_2, p_2) 分别是 L1,L2L_1, L_2 的方向向量。

可将 L1,L2L_1, L_2 的位置关系分成如下四种情形

  1. L1,L2L_1, L_2 重合。其充要条件是

m1m2=n1n2=p1p2\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{p_1}{p_2}

且 M1∈L2 (M2∈L1)M_1 \in L_2 \ (M_2 \in L_1)，即

x1−x2m2=y1−y2n2=z1−z2p2\frac{x_1 - x_2}{m_2} = \frac{y_1 - y_2}{n_2} = \frac{z_1 - z_2}{p_2}

  1. L1,L2L_1, L_2 平行（不包括重合）。其充要条件是

m1m2=n1n2=p1p2\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{p_1}{p_2}

且 M1∉L2 (M2∉L1)M_1 \notin L_2 \ (M_2 \notin L_1)，即

x1−x2m2=y1−y2n2=z1−z2p2\frac{x_1 - x_2}{m_2} = \frac{y_1 - y_2}{n_2} = \frac{z_1 - z_2}{p_2}

不成立。

  1. L1,L2L_1, L_2 交于一点。其充要条件是混合积 [s1s2M1M2→]=0\left[s_1s_2\overrightarrow{M_1M_2}\right] = 0 且 s1s2s_1s_2 不平行。

  2. L1,L2L_1, L_2 是异面直线。其充要条件是混合积 [s1s2M1M2→]≠0\left[s_1s_2\overrightarrow{M_1M_2}\right] \ne 0。

我们规定 L1,L2L_1, L_2 的方向向量 s1,s2s_1, s_2 的夹角 φ\varphi 为这两条直线的夹角。通常规定 0≤φ≤π20 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}。

直线 L1,L2L_1, L_2 的夹角 φ\varphi 可由公式

cos⁡φ=∣s1⋅s2∣∣s1∣∣s2∣\cos\varphi = \frac{\left\vert s_1 \cdot s_2\right\vert}{\left\vert s_1\right\vert \left\vert s_2 \right\vert}

来确定。

显然，L1L_1 与 L2L_2 垂直的充要条件是 s1s_1 与 s2s_2 垂直，即

s1⋅s2=m1m2+n1n2+p1p2=0s_1 \cdot s_2 = m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0

直线与平面

设有一条直线

L:x−x0m=y−y0n=z−z0pL : \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}

及一个平面

π:Ax+By+Cz+D=0\pi : Ax + By + Cz + D = 0

可将 L,πL, \pi 的位置关系分成如下三种情形。

  1. LL 在 π\pi 上。其充要条件是 s=(m,n,p)s = (m, n, p) 与 n=(A,B,C)n = (A, B, C) 垂直，且 M0∈πM_0 \in \pi，即

{mA+nB+pC=0Ax0+By0+Cz0+D=0\begin{cases} mA + nB + pC = 0\\ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0 \end{cases}

  1. LL 与 π\pi 平行（不包括 LL 在 π\pi 上的情形）。其充要条件是 s=(m,n,p)s = (m, n, p) 与 n=(A,B,C)n = (A, B, C) 垂直，且 M0∉πM_0 \notin \pi，即

mA+nB+pC=0mA + nB + pC = 0

且

Ax0+By0+Cz0+D≠0Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \ne 0

  1. LL 与 π\pi 交于一点。其充要条件是 s=(m,n,p)s = (m, n, p) 与 n=(A,B,C)n = (A, B, C) 不垂直，即

mA+nB+pC≠0mA + nB + pC \ne 0

直线 LL 与其在平面 π\pi 上的投影直线 L1L_1 的夹角 φ\varphi 称为直线 LL 与平面 π\pi 的夹角，通常规定 0≤φ≤π20 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}。

φ\varphi 可由公式

sin⁡φ=∣s⋅n∣∣s∣∣n∣\sin\varphi = \frac{\left\vert s \cdot n \right\vert}{\left\vert s \right\vert \left\vert n \right\vert}

确定。显然，LL 与 π\pi 垂直的充要条件是 nn 与 ss 平行，即

Am=Bn=Cp\frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}

距离

点到平面

设 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) 是平面 π:Ax+By+Cz+D=0\pi : Ax + By + Cz + D = 0 外一点。在平面 π\pi 上任取一点 M1(x1,y1,z1)M_1(x_1, y_1, z_1)，取平面 π\pi 的法向量 n=(A,B,C)n = (A, B, C)，则点 M0M_0 到平面 π\pi 的距离 dd 为

d=∣n⋅M0M1→∣∣n∣d = \frac{\left\vert n \cdot \overrightarrow{M_0M_1} \right\vert}{\left\vert n \right\vert}

两平行平面

可以转化为点到平面间的距离

直线到其平行的平面

可以转化为点到平面间的距离

点到直线

设直线 LL 的标准方程为

L:x−x0m=y−y0n=z−z0pL : \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}

即 LL 过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)，并且方向向量为 s=(m,n,p)s = (m, n, p)。再设 M1(x1,y1,z1)M_1(x_1, y_1, z_1) 是直线 LL 外一点，则点 M1M_1 到直线 LL 的距离 dd 为

d=∣s×M0M1→∣∣s∣d = \frac{\left\vert s \times \overrightarrow{M_0M_1}\right\vert}{\left\vert s\right\vert}

两平行直线

可以转化为点到直线间的距离

两异面直线

设由两条异面直线：

L1:x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1L2:x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2L_1 : \frac{x - x_1}{m_1} = \frac{y - y_1}{n_1} = \frac{z - z_1}{p_1}\\ L_2 : \frac{x - x_2}{m_2} = \frac{y - y_2}{n_2} = \frac{z - z_2}{p_2}

记 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)P_1(x_1, y_1, z_1), P_2(x_2, y_2, z_2) 分别是 L1,L2L_1, L_2 上的点。L1,L2L_1, L_2 的方向向量 s1=(m1,n1,p1)s_1 = (m_1, n_1, p_1)，s2=(m2,n2,p2)s_2 = (m_2, n_2, p_2) 分别与 L1,L2L_1, L_2 的公垂线垂直，所以 s1×s2s_1 \times s_2 是 L1,L2L_1, L_2 的公垂线的方向向量。

P1P2→\overrightarrow{P_1P_2} 在 s1×s2s_1 \times s_2 上的投影的绝对值就是 L1L_1 与 L2L_2 之间的距离 dd，即

d=∣P1P2→⋅s1×s2∣s1×s2∣∣d = \left\vert \overrightarrow{P_1P_2} \cdot \frac{s_1 \times s_2}{\left\vert s_1 \times s_2 \right\vert} \right\vert

平面束

称通过给定直线 LL 的所有平面的全体为通过直线 LL 的平面束。

设 LL 的一般方程为

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}

其中系数 A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 与 A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 不成比例。则称方程

A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0A_1x + B_1y + C_1z + D_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) = 0

为通过直线 LL 的平面束方程。