数量场

定义

若对于空间区域 GG 内任一点 MM，都有一确定数量 f(M)f(M) 与之对应，则称这个空间区域 GG 内确定了一个数量场

方向导数

定义

设 u=f(P)u = f(P) 是定义在 Ω\Omega 上的一数量场，P0∈ΩP_0 \in \Omega，以 P0P_0 为始点作一射线，若方向与向量 l⃗\vec{l} 一致，在此射线上任取一点 P≠P0P \neq P_0，若极限

lim⁡P→P0f(P)−f(P0)∣P0P‾∣\lim\limits_{P\to P_0}\frac{f(P) - f(P_0)}{\left\vert\overline{P_0P} \right\vert}

存在，称此极限值为数量场 u=f(P)u = f(P) 在点 P0P_0 处沿 l⃗\vec{l} 方向的方向导数，记为 ∂u∂l⃗∣P0\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\big|_{P_0}

计算

若数量场 u=f(x,y,z)u = f(x,y,z) 在 P0P_0 处可微，则其沿任何方向 l⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) 的方向导数都存在，且

∂u∂l⃗∣P0=fx′cos⁡α+fy′cos⁡β+fz′cos⁡γ=grad⁡u⋅l⃗\frac{\partial u}{\partial\vec{l}}\big|{P_0} = f'_x\cos\alpha + f'_y\cos\beta + f'_z\cos\gamma = \operatorname{grad}u \cdot \vec{l}

梯度

定义

设 u=f(P)u = f(P) 是 Ω\Omega 上一数量场，P0P_0 为 Ω\Omega 上任一点，若 u=f(P)u = f(P) 在 P0P_0 点处沿任何方向方向导数都存在，称以 P0P_0 点处方向导数最大的方向为方向，以这个最大方向导数的模为模的向量为 u=f(P)u = f(P) 在 P0P_0 点的梯度，记为 grad⁡u∣P0\operatorname{grad}u\big|_{P_0}

计算

若 uu 可微，则

grad⁡u=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z)\operatorname{grad}u = \left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)

向量场

定义

若对于空间区域 Ω\Omega 内任一点 MM，都有一确定向量 A⃗(M)\vec{A}(M) 与之对应，则称这个空间区域 GG 内确定了一个向量场。

平均散发量

设 A⃗\vec{A} 为一向量场，Ω\Omega 为一空间区域，SS 是 Ω\Omega 的边界闭曲面，方向为外法方向，称 ∯SPdydz+Qdzdx+Rdxdy\oiint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 为 A⃗\vec{A} 在 SS 上的总散发量（通量），而 1Ω∯SPdydz+Qdzdx+Rdxdy\frac{1}{\Omega} \oiint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 为 A⃗\vec{A} 在 SS 的平均散发量。

散度

定义

设 A⃗\vec{A} 为一向量场，MM 是空间上一点，做一个含 MM 点的空间区域 ΔΩ\Delta\Omega，ΔS\Delta S 是 ΔΩ\Delta\Omega 的边界闭曲面，若 lim⁡ΔΩ→M1ΔΩ∯ΔSPdydz+Qdzdx+Rdxdy\lim\limits_{\Delta\Omega \to M}\frac{1}{\Delta\Omega}\oiint\limits_{\Delta S} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy（ΔS\Delta S 为外法方向）存在，称此极限值为向量场 A⃗\vec{A} 在 MM 点的散度，记为 div⁡A⃗(M)=∇⋅A\operatorname{div}\vec{A}(M) = \nabla\cdot A。

当 div⁡A→(M)>0\operatorname{div}\overrightarrow{A}(M) > 0 时，MM 点为 A→\overrightarrow{A} 的正源

当 div⁡A→(M)<0\operatorname{div}\overrightarrow{A}(M) < 0 时，MM 点为 A→\overrightarrow{A} 的负源

当 div⁡A→(M)=0\operatorname{div}\overrightarrow{A}(M) = 0 时，MM 点非 A→\overrightarrow{A} 的源

计算

div⁡A→(M0)=(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)∣M0=∇⋅A→(M0)\begin{split} \operatorname{div} \overrightarrow{A}(M_0)& = \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\Bigg|_{M_0} \\ & = \nabla\cdot \overrightarrow{A}(M_0) \end{split}

环流面密度

定义

设 A⃗\vec{A} 为一向量场，MM 为空间一点，以 MM 为始点做一向量 n⃗={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\vec{n} = \{\cos \alpha, \cos\beta, \cos\gamma\}，过 MM 点做空间一开曲面 ΔS\Delta S，要求此曲面在 MM 点的法相为 n⃗\vec{n}，设 ΔS\Delta S 的边界曲线为 ΔC\Delta C，ΔS\Delta S 与 ΔC\Delta C 的方向感满足右手螺旋。若 lim⁡ΔS→M1ΔS∮ΔCPdx+Qdy+Rdz\lim\limits_{\Delta S \to M} \frac{1}{\Delta S} \oint\limits_{\Delta C} Pdx + Qdy + Rdz 存在，则称此极限值为 A⃗\vec{A} 在 MM 点处沿方向 n⃗\vec{n} 的环流面密度。

计算

若 PP，QQ，RR 具有连续偏导，则

lim⁡ΔS→M1ΔS∮ΔCP ⁣dx+Q ⁣dy+R ⁣dz=∣cos⁡αcos⁡βcos⁡γ∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣M=rot⁡A⃗⋅n⃗\lim\limits_{\Delta S \to M}\frac{1}{\Delta S} \oint\limits_{\Delta C} P\mathop{}\!\mathrm{d}x + Q\mathop{}\!\mathrm{d}y + R\mathop{}\!\mathrm{d}z = \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}_M = \operatorname{rot} \vec{A} \cdot \vec{n}

旋度

定义

设 A⃗\vec{A} 为一像向量场，MM 为场内一点，MM 点处存在这样一个向量 H⃗\vec{H}，此向量的方向是 MM 点环流面密度最大的方向，它的模是环流面密度最大的值，称 H⃗\vec{H} 为像向量场 A⃗\vec{A} 在 MM 点处的旋度，记为 rot⁡A⃗(M)=H⃗\operatorname{rot}\vec{A}(M) = \vec{H}

计算

rot⁡A⃗(M)=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣M\operatorname{rot}\vec{A}(M) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}_M