期望最大

狭义 EM

期望最大算法的目的是解决具有隐变量的混合模型的参数估计（极大似然估计）。MLE 对 $p(x|\theta)$ 参数的估计记为：$\theta_{MLE}=\mathop{argmax}\limits_\theta\log p(x|\theta)$。EM 算法对这个问题的解决方法是采用迭代的方法：

$$\theta^{t+1}=\mathop{argmax}\limits_{\theta}\int_z\log [p(x,z|\theta)]p(z|x,\theta^t)dz=\mathbb{E}_{z|x,\theta^t}[\log p(x,z|\theta)]$$

这个公式包含了迭代的两步：

1. E step：计算 $\log p(x,z|\theta)$ 在概率分布 $p(z|x,\theta^t)$ 下的期望
2. M step：计算使这个期望最大化的参数得到下一个 EM 步骤的输入

求证：$\log p(x|\theta^t)\le\log p(x|\theta^{t+1})$

证明：$\log p(x|\theta)=\log p(z,x|\theta)-\log p(z|x,\theta)$。左右两边同时求在概率分布 $p(z|x,\theta^t)$ 下的期望：

$$Left:\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(x|\theta)dz=\log p(x|\theta)$$

$$Right:\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(x,z|\theta)dz-\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(z|x,\theta)dz=Q(\theta,\theta^t)-H(\theta,\theta^t)$$

所以：

$$\log p(x|\theta)=Q(\theta,\theta^t)-H(\theta,\theta^t)$$

由于 $Q(\theta,\theta^t)=\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(x,z|\theta)dz$，而 $\theta^{t+1}=\mathop{argmax}\limits_{\theta}\int_z\log [p(x,z|\theta)]p(z|x,\theta^t)dz$，所以 $Q(\theta^{t+1},\theta^t)\ge Q(\theta^t,\theta^t)$。要证 $\log p(x|\theta^t)\le\log p(x|\theta^{t+1})$，需证：$H(\theta^t,\theta^t)\ge H(\theta^{t+1},\theta^t)$：

$$\begin{split}H(\theta^{t+1},\theta^t)-H(\theta^{t},\theta^t)&=\int_zp(z|x,\theta^{t})\log p(z|x,\theta^{t+1})dz-\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(z|x,\theta^{t})dz\nonumber\\ &=\int_zp(z|x,\theta^t)\log\frac{p(z|x,\theta^{t+1})}{p(z|x,\theta^t)}=-KL(p(z|x,\theta^t),p(z|x,\theta^{t+1}))\le0 \end{split}$$

综合上面的结果：

$$\log p(x|\theta^t)\le\log p(x|\theta^{t+1})$$

根据上面的证明，我们看到，似然函数在每一步都会增大。进一步的，我们看 EM 迭代过程中的式子是怎么来的：

$$\log p(x|\theta)=\log p(z,x|\theta)-\log p(z|x,\theta)=\log \frac{p(z,x|\theta)}{q(z)}-\log \frac{p(z|x,\theta)}{q(z)}$$

分别对两边求期望 $\mathbb{E}_{q(z)}$：

$$\begin{split} &Left:\int_zq(z)\log p(x|\theta)dz=\log p(x|\theta)\\ &Right:\int_zq(z)\log \frac{p(z,x|\theta)}{q(z)}dz-\int_zq(z)\log \frac{p(z|x,\theta)}{q(z)}dz=ELBO+KL(q(z),p(z|x,\theta)) \end{split}$$

上式中，Evidence Lower Bound(ELBO)，是一个下界，所以 $\log p(x|\theta)\ge ELBO$，等于号取在 KL 散度为0时，即：$q(z)=p(z|x,\theta)$，EM 算法的目的是将 ELBO 最大化，根据上面的证明过程，在每一步 EM 后，求得了最大的ELBO，并根据这个使 ELBO 最大的参数代入下一步中：

$$\hat{\theta}=\mathop{argmax}\limits_{\theta}ELBO=\mathop{argmax}\limits_\theta\int_zq(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}dz$$

由于 $q(z)=p(z|x,\theta^t)$ 的时候，这一步的最大值才能取等号，所以：

$$\hat{\theta}=\mathop{argmax}\limits_{\theta}ELBO=\mathop{argmax}\limits_\theta\int_zq(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}dz=\mathop{argmax}\limits_\theta\int_zp(z|x,\theta^t)\log\frac{p(x,z|\theta)}{p(z|x,\theta^t)}d z\\ =\mathop{argmax}\limits_\theta\int_z p(z|x,\theta^t)\log p(x,z|\theta)$$

这个式子就是上面 EM 迭代过程中的式子。

从 Jensen 不等式出发，也可以导出这个式子：

$$\log p(x|\theta)=\log\int_zp(x,z|\theta)dz=\log\int_z\frac{p(x,z|\theta)q(z)}{q(z)}dz\\ =\log \mathbb{E}_{q(z)}[\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}]\ge \mathbb{E}_{q(z)}[\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}]$$

其中，右边的式子就是 ELBO，等号在 $p(x,z|\theta)=Cq(z)$ 时成立。于是：

$$\int_zq(z)dz=\frac{1}{C}\int_zp(x,z|\theta)dz=\frac{1}{C}p(x|\theta)=1\\ \Rightarrow q(z)=\frac{1}{p(x|\theta)}p(x,z|\theta)=p(z|x,\theta)$$

我们发现，这个过程就是上面的最大值取等号的条件。

广义 EM

EM 模型解决了概率生成模型的参数估计的问题，通过引入隐变量 $z$，来学习 $\theta$，具体的模型对 $z$ 有不同的假设。对学习任务 $p(x|\theta)$，就是学习任务 $\frac{p(x,z|\theta)}{p(z|x,\theta)}$。在这个式子中，我们假定了在 E 步骤中，$q(z)=p(z|x,\theta)$，但是这个 $p(z|x,\theta)$ 如果无法求解，那么必须使用采样（MCMC）或者变分推断等方法来近似推断这个后验。我们观察 KL 散度的表达式，为了最大化 ELBO，在固定的 $\theta$ 时，我们需要最小化 KL 散度，于是：

$$\hat{q}(z)=\mathop{argmin}\limits_qKL(p,q)=\mathop{argmax}\limits_qELBO$$

这就是广义 EM 的基本思路：

1. E step：

   $$\hat{q}^{t+1}(z)=\mathop{argmax}\limits_q\int_zq^t(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q^t(z)}dz,fixed\ \theta$$

2. M step：

   $$\hat{\theta}=\mathop{argmax}\limits_\theta \int_zq^{t+1}(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q^{t+1}(z)}dz,fixed\ \hat{q}$$

对于上面的积分：

$$ELBO=\int_zq(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}dz=\mathbb{E}_{q(z)}[p(x,z|\theta)]+Entropy(q(z))$$

因此，我们看到，广义 EM 相当于在原来的式子中加入熵这一项。

EM 的推广

EM 算法类似于坐标上升法，固定部分坐标，优化其他坐标，再一遍一遍的迭代。如果在 EM 框架中，无法求解 $z$ 后验概率，那么需要采用一些变种的 EM 来估算这个后验。

1. 基于平均场的变分推断，VBEM/VEM
2. 基于蒙特卡洛的EM，MCEM