第二型积分
第二型积分
定义
设 Ω\OmegaΩ 为空间上一有向几何体,即在 Ω\OmegaΩ 上每一点 PPP 处都确定了一方向 eP→\overrightarrow{e_P}eP,P∈ΩP \in \OmegaP∈Ω,A→(P)\overrightarrow{A}(P)A(P) 为 Ω\OmegaΩ 上一向量值函数。首先,将 Ω\OmegaΩ 任意分成 nnn 个有向几何体 ΔΩ1,ΔΩ2,⋯ ,ΔΩn\Delta\Omega_1, \Delta\Omega_2, \cdots, \Delta\Omega_nΔΩ1,ΔΩ2,⋯,ΔΩn;然后在每一个有向几何体上做内积 A→(P)⋅ΔΩi→(i=1,2,⋯ ,n),Pi∈ΔΩi\overrightarrow{A}(P) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i}(i = 1, 2, \cdots, n), P_i \in \Delta\Omega_iA(P)⋅ΔΩi(i=1,2,⋯,n),Pi∈ΔΩi,ΔΩi→\Delta\overrightarrow{\Omega_i}ΔΩi 是以 ΔΩi ...
函数项级数
函数项级数
定义
设 fn(x)f_n(x)fn(x) 是定义在 DDD 上的一串函数(n=1,2,3,⋯n = 1, 2, 3, \cdotsn=1,2,3,⋯),也称之为函数序列,用 + 号将其一次连接起来,f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)+⋯≜∑n=1∞fn(x)f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x) + \cdots \triangleq \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)+⋯≜n=1∑∞fn(x) 称之为 DDD 上的函数项级数。Sn=f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)S_n = f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)Sn=f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x) 称为部分和。rn(x)=fn+1(x)+fn+2(x)+⋯r_n(x) = f_{n+1}(x) + f_{n+2}(x) + \cdotsrn(x)=fn+1(x)+fn+2(x)+⋯ 为函数项级数的余项。
对 x0∈Dx_0 \in Dx0∈D,若 ∑n= ...
数项级数
级数
定义
设 {an}\{a_n\}{an} 为一个无穷数列,用 + 将 ana_nan 的项依次连起来,得到一个式子 a1+a2+⋯+an+⋯a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdotsa1+a2+⋯+an+⋯,称此式子为 (无穷数项)级数,简记为 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞an
a1a_1a1 称为第一项,ana_nan 称为通项,Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_nSn=a1+a2+⋯+an 称为部分和。
敛散性
设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞an 为一级数,Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_nSn=a1+a2+⋯+an 为其部分和,若 limn→∞Sn\lim\limits_{n\to\infty} S_nn→∞limSn 存在,则称级数 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_ ...
黎曼积分
在实分析中,由黎曼创立的黎曼积分(英语:Riemann integral)首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。
极限
极限(英语:Limit)是数学分析或微积分的重要基础概念,连续和导数都是通过极限来作定义。极限分为描述一个序列的下标愈来越大时的趋势(序列极限),或是描述函数的自变量接趋近某个值时的函数值的趋势(函数极限)。
常用不定积分表
∫kdx=kx+C\int kdx = kx + C∫kdx=kx+C
∫xμdx=xμ+1μ+1+C\int x^{\mu}dx = \frac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C∫xμdx=μ+1xμ+1+C
∫dxx=ln∣x∣+C\int\frac{dx}{x} = \ln\left\vert x\right\vert + C∫xdx=ln∣x∣+C
∫dx1+x2=arctanx+C\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C∫1+x2dx=arctanx+C
∫dx1−x2=arcsinx+C\int\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C∫1−x2dx=arcsinx+C
∫sinxdx=−cosx+C\int\sin xdx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+C\int\cos xdx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C\int\tan xdx ...
服务器好玩的东西
一些初次玩服务器可能会用到的东西。