Abyss の 博客

向量 数量积 定义 设 a,ba, ba,b 是两个几何向量，称 ∣a∣∣b∣cos⁡θ\left\vert a\right\vert \left\vert b\right\vert \cos\theta∣a∣∣b∣cosθ 为 aaa 与 bbb 的数量积或内积，记作 a⋅ba \cdot ba⋅b，即 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θa \cdot b = \left\vert a\right\vert \left\vert b\right\vert \cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 性质 a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a（交换律） (ka)⋅b=k(a⋅b)(ka) \cdot b = k(a \cdot b)(ka)⋅b=k(a⋅b) (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c（分配律） a⋅a≥0a \cdot a \ge 0a⋅a≥0。此外，a⋅a=0a \cdot a = 0a⋅a=0 的充要条件是 a=0a = 0a=0 ...

连续 定义 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某一邻域内有定义，如果 lim⁡Δx→0=lim⁡Δx→0∣f(x0+Δx)−f(x0)∣=0\lim\limits_{\Delta x \to 0} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\left\vert f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\right\vert = 0 Δx→0lim​=Δx→0lim​∣f(x0​+Δx)−f(x0​)∣=0 那么就称函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 连续。 也可表述为： 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某一邻域内有定义，如果 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) x→x0​lim​f(x)=f(x0​) 那么就称函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 连续。 也可用 ε ⁣− ⁣δ\varepsilon\!-\!\deltaε−δ 语言表述为： f( ...

导数 定义 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某个邻域内有定义，当自变量 xxx 在 x0x_0x0​ 处取得增量 Δx\Delta xΔx（点 x0+Δxx_0 + \Delta xx0​+Δx 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)；如果 Δy\Delta yΔy 与 Δx\Delta xΔx 之比当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时的极限存在，那么称函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处的导数，记为 f′(x0)f^\prime(x_0)f′(x0​)，即 f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^\prime (x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\D ...

映射 定义 设 X,YX, YX,Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 fff，使得对 XXX 中每个元素 xxx，按法则 fff，在 YYY 中有唯一确定的元素 yyy 与之对应，那么称 fff 为从 XXX 到 YYY 的映射，记作 f:X→Yf:X\rightarrow Y f:X→Y 其中 yyy 称为元素 xxx（在映射 fff 下）的像，并记作 f(x)f(x)f(x)，即 y=f(x)y = f(x) y=f(x) 而元素 xxx 称为元素 yyy（在映射 fff 下）的一个原像；集合 XXX 称为映射 fff 的定义域，记作 Df=XD_f = XDf​=X；XXX 中所有元素的像所组成的集合称为映射 fff 的值域，记作 RfR_fRf​ 或 f(X)f(X)f(X)，即 Rf=f(X)={f(x)∣x∈X}R_f = f(X) = \{f(x) | x \in X\} Rf​=f(X)={f(x)∣x∈X} 从上述映射的定义中，需要注意的是： 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 XXX，即定义域 Df=XD_f = XDf​=X；集合 YYY，即值域的范围：R ...

合同矩阵 定义 给定两个 nnn 阶方阵 AAA 和 BBB，如果存在可逆矩阵 CCC，使得 B=C′ACB = C^\prime A C B=C′AC 则称 AAA 和 BBB 合同。 性质 自反性：任一 nnn 阶方阵 AAA 都与自身合同 对称性：若 AAA 与 BBB 合同，则 BBB 与 AAA 合同 传递性：若 AAA 与 BBB 合同，且 BBB 与 CCC 合同，则 AAA 与 CCC 合同 对任一实对称矩阵 AAA，存在正交矩阵 PPP，使 P−1AP=P′AP=DP^{-1}AP = P^\prime AP = DP−1AP=P′AP=D 为对角矩阵，因此，任一实对称矩阵都与对角矩阵合同。 对称矩阵与非对称矩阵不合同。 若 A,BA, BA,B 均为实对称矩阵，则 A⋍B⇔A 与 B 的正惯性指数，负惯性指数对应相等A \backsimeq B \Leftrightarrow A\,与\,B\,的正惯性指数，负惯性指数对应相等 A⋍B⇔A与B的正惯性指数，负惯性指数对应相等 二次型 定义 含有 nnn 个变量 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdot ...

多元函数的基本概念 N 维空间 称有序数组 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_1, x_2, \cdots, x_n)(x1​,x2​,⋯,xn​) 为一个 nnn 维点（nnn 维向量）。所有 nnn 维点组成的集合称之为 nnn 维空间，记为 Rn\mathbb{R}^nRn。 N 维空间的距离 设 A(x1,x2,⋯ ,xn)A(x_1, x_2, \cdots, x_n)A(x1​,x2​,⋯,xn​) 和 B(y1,y2,⋯ ,yn)B(y_1, y_2, \cdots, y_n)B(y1​,y2​,⋯,yn​) 为 Rn\mathbb{R}^nRn 空间上任意两点，称 ρ(A,B)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2\rho(A, B) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} ρ(A,B)=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2+⋯+(xn​−yn​)2​ 为 A,BA, BA,B 两点间的距离。 邻域 设 α=(a1,a2,⋯ ,an)∈Rn\alpha = ( ...

第二型积分 定义 设 Ω\OmegaΩ 为空间上一有向几何体，即在 Ω\OmegaΩ 上每一点 PPP 处都确定了一方向 eP→\overrightarrow{e_P}eP​​，P∈ΩP \in \OmegaP∈Ω，A→(P)\overrightarrow{A}(P)A(P) 为 Ω\OmegaΩ 上一向量值函数。首先，将 Ω\OmegaΩ 任意分成 nnn 个有向几何体 ΔΩ1,ΔΩ2,⋯ ,ΔΩn\Delta\Omega_1, \Delta\Omega_2, \cdots, \Delta\Omega_nΔΩ1​,ΔΩ2​,⋯,ΔΩn​；然后在每一个有向几何体上做内积 A→(P)⋅ΔΩi→(i=1,2,⋯ ,n),Pi∈ΔΩi\overrightarrow{A}(P) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i}(i = 1, 2, \cdots, n), P_i \in \Delta\Omega_iA(P)⋅ΔΩi​​(i=1,2,⋯,n),Pi​∈ΔΩi​，ΔΩi→\Delta\overrightarrow{\Omega_i}ΔΩi​​ 是以 ΔΩi ...

函数项级数 定义 设 fn(x)f_n(x)fn​(x) 是定义在 DDD 上的一串函数（n=1,2,3,⋯n = 1, 2, 3, \cdotsn=1,2,3,⋯），也称之为函数序列，用 + 号将其一次连接起来，f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)+⋯≜∑n=1∞fn(x)f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x) + \cdots \triangleq \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)f1​(x)+f2​(x)+⋯+fn​(x)+⋯≜n=1∑∞​fn​(x) 称之为 DDD 上的函数项级数。Sn=f1(x)+f2(x)+⋯+fn(x)S_n = f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)Sn​=f1​(x)+f2​(x)+⋯+fn​(x) 称为部分和。rn(x)=fn+1(x)+fn+2(x)+⋯r_n(x) = f_{n+1}(x) + f_{n+2}(x) + \cdotsrn​(x)=fn+1​(x)+fn+2​(x)+⋯ 为函数项级数的余项。 对 x0∈Dx_0 \in Dx0​∈D，若 ∑n= ...

级数 定义 设 {an}\{a_n\}{an​} 为一个无穷数列，用 + 将 ana_nan​ 的项依次连起来，得到一个式子 a1+a2+⋯+an+⋯a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdotsa1​+a2​+⋯+an​+⋯，称此式子为 （无穷数项）级数，简记为 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞​an​ a1a_1a1​ 称为第一项，ana_nan​ 称为通项，Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_nSn​=a1​+a2​+⋯+an​ 称为部分和。 敛散性 设 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞​an​ 为一级数，Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_nSn​=a1​+a2​+⋯+an​ 为其部分和，若 lim⁡n→∞Sn\lim\limits_{n\to\infty} S_nn→∞lim​Sn​ 存在，则称级数 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_ ...

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。